Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是，

（1）求三个顶点、、的坐标；

（2）连接、，并用含字母的式子表示的面积（）；

（3）在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，-4），B（-4，0），C（6，0）；（2）2a-4或4-2a，详见解析；（3）存在，点P的坐标为（-6，12）或（-6，-8）

【解析】

（1）根据三角形面积公式得到OA2=8，解得OA=4，则OB=OA=4，OC=BC-OB=6，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）分类讨论：当点P在在直线AB上方即a＞2；当点P在直线AB下方，即a＜2；利用面积的和与差求解；
（3）先计算出S△ABC=20，利用（2）中的结果得到方程，然后分别求出a的值，从而确定P点坐标．

解：（1）∵S△ABO=OA×OB，
∵OA=OB，

∴OA2=8，解得OA=4，
∴OB=OA=4，
∴OC=BC-OB=10-4=6，
∴A（0，-4），B（-4，0），C（6，0）；
（2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图，

S△PAB=S△AOB+S梯形BOHP-S△PAH=8+（4+6）×a-×6×（a+4）=2a-4；
当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图，

S△PAB=S梯形OHPA-S△PBH-S△OAB=（-a+4）×6-×（6-4）×（-a）-8=4-2a；

（3）S△ABC=×10×4=20，
当2a-4=20，
解得a=12．
此时P点坐标为（-6，12）；
当4-2a=20，
解得a=-8．
此时P点坐标为（-6，-8）．
综上所述，点P的坐标为（-6，12）或（-6，-8）．