Question

如图，已知∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃…在射线OM上；△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均为等边三角形．若OA₁=1，则△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₆的边长为(     )

A．4028 B．4030  C．2²⁰¹⁴  D．2²⁰¹⁵

Answer 1

C【考点】等边三角形的性质．

【专题】规律型．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，以及A₂B₂=2B₁A₂，得出A₃B₃=4B₁A₂=4，A₄B₄=8B₁A₂=8，A₅B₅=16B₁A₂…进而得出答案．

【解答】解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，

∴A₁B₁=A₂B₁，∠3=∠4=∠12=60°，

∴∠2=120°，

∵∠MON=30°，

∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，

又∵∠3=60°，

∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，

∵∠MON=∠1=30°，

∴OA₁=A₁B₁=1，

∴A₂B₁=1，

∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等边三角形，

∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，

∵∠4=∠12=60°，

∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，

∴A₂B₂=2B₁A₂，B₃A₃=2B₂A₃，

∴A₃B₃=4B₁A₂=4，

A₄B₄=8B₁A₂=8，

A₅B₅=16B₁A₂=16，

以此类推：△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₆的边长为 2²⁰¹⁴．

故选C

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A₃B₃=4B₁A₂，A₄B₄=8B₁A₂，A₅B₅=16B₁A₂进而发现规律是解题关键．