Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的发散点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝3r，则称P′为点P关于⊙C的发散点.下图为点P及其关于⊙C的发散点P′的示意图.特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0.

根据上述材料，请你解决以下问题：

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点关于⊙O的发散点的是点 ；其对应发散点的坐标是 ；

②点P在直线上，若点P关于⊙O的发散点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标m的取值范围；

（2）⊙C的圆心C在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分別交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的发散点P′在⊙C的内部，请直接写出圆心C的横坐标n的取值范围 .

Answer 1

【答案】（1）N,T ，（0，0）；（2）<m<3.

【解析】

(1)①根据发散点的定义依次进行判断即可；②由OP≤3r=3，得出OP2≤9，设P（m，），由勾股定理得出OP2=m2+（）2=4m2-18m+27≤9，解不等式得出≤m≤3．再分别将m=与3代入检验即可；
（2）先由已知条件求出A（9，0），B（0，3）,则，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再设C（n，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右侧．

解：（1）①设点M（3，1）的发散点为M’，则根据发散点的定义可得：OM+OM’=3,

OM==,

∴OM’=3-<0.

故不符合题意，点M（3，1）不存在关于⊙O的发散点.

同理可求得：设点N关于⊙O的发散点为N’，则

ON+ON’=3,

∴ON’=3-=

∴点N关于⊙O的发散点N’的坐标为；

设点T(2,1) 关于⊙O的发散点为T’,

则OT+OT’=3,

∴OT’=3-=0

∴点T(2,1) 关于⊙O的发散点为T’的坐标为（0，0）

故答案为：N,T ，（0，0）；

设点P的坐标为（m，），

∵OP≤3，

∴≤9.

∴+≤9

整理得：-≤0

解得：≤m≤3.

又∵点P不在轴上，

∴点P的横坐标m的取值范围<m<3；

（2）令y=0，则，解得x=9，

∴A的坐标为（9，0）

令x=0，则y=3，

∴点B的坐标为（0，3）.

∴，

∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

设C的坐标为（n，0）

当点C在OA上时，作CD⊥AB于D，则

CD≤CP≤3r=3

∴AC=2CD≤6

∴9-n≤6解得n≥3

当点C在点A右边时，AC的最大值为3.

∴C的横坐标n≤12.

综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是≤m≤3．