Question

【题目】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 ，QE与QF的数量关系是　 ；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1:3，△FBQ的面积等于3，求△AQE的面积；

（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1:3，△FEQ的面积等于3，求△AQE的面积．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）9；（3）.

【解析】

（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EA=BD，再证明△AEQ≌△BDQ，所以AE=BD，CE=BF，又因为CE：AE＝1:3，从而得BF:BD=1:3,即△FBQ的面积：△DBQ的面积=1:3，计算△DBQ的面积=9,从而求解；(3)方法同（2）证出 Rt△AEC≌Rt△CFB，连接CQ, 由AE：CE＝1:3，得CF：CE＝1:3，再根据高相等的三角形面积比等于底的比得出△CFQ的面积与△EFQ的面积面积比，从而求出△CFQ的面积，然后根据SAS 证明 △QAE≌△QCF，从而求解.

解：（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中，

∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF；

(2) 延长EQ交BF于D，如图2：

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中，

∴△AEQ≌△BDQ，

∴AE=BD,

∵∠ACE+∠FCB=∠FCB+∠CBF=90°

∴∠ACE =∠CBF

又∵∠AEC=∠CFB=90°，AC=CB,

∴△AEQ≌△BDQ

∴AE=BD，CE=BF

又∵CE：AE＝1:3，∴BF:BD=1:3,即△FBQ的面积：△DBQ的面积=1:3

又∵△FBQ的面积等于3，∴△DBQ的面积=9,
∵△AEQ≌△BDQ，

∴△AEQ的面积=9；

（3）图形如下：连接CQ,

方法同（2）可得：Rt△AEC≌Rt△CFB(一线三等角)，

∴AE=CF，EC=FB，∠EAC=∠FCB,

∵AE：CE＝1:3，

∴CF：CE＝1:3，

∴△CFQ的面积：△ECQ的面积=1:3，△CFQ的面积：△EFQ的面积=1:4，△FEQ的面积等于3，

即：△CFQ的面积=，

∵Q为斜边AB的中点，AC=BC,

∴CQ=AQ，∠QAC=∠QCB=45°，

∴∠EAC+∠QAC =∠FCB+∠QCB，

即∠QAE=∠QCF

∴△QAE≌△QCF (SAS)

∴△AQE的面积=△CFQ的面积=，