Question

喜迎“端午”佳节，黄冈南湖食品工业园某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本20元，在“端午”节前20天进行销售后发现，该礼盒在这20天内的日销售量p（盒）与时间x（天）的关系如下表：

时间x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第…天
日销售量p（盒）	78	76	74	72	70	……

在这20天内，前10天每天的销售价格y₁（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为（1≤x≤10,且x为整数），后10天每天的销售价格y₂（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为（11≤x≤20,且x为整数），

(1) 直接写出日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式；

(2) 请求出这20天中哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

(3) “端午”当天，销售价格（元/盒）比第20天的销售价格降低a元（a>0）,而日销售量比第20天提高了a盒，日销售额比前20天中的最大日销售利润多284元，求a的值.(注：销售利润=（售价—成本价）×销售量)

Answer 1

解：（1）p= — 2x+80                                             2分

（2）设日销售利润为w元，

当1≤x≤10时，w=(—2x+80)( x+25-20)= —(x-10)²+450      3分

当11≤x≤20 时，w=(—2x+80)( —x+40 -20)= (x-40)²             4分

因为w= —(x-10)²+450（1≤x≤10）的对称轴为x=10,

所以当x=10时，w取得最大值，最大值是450                  6分

因为w=(x-40)² （11≤x≤20）的对称轴为x=40,

且当  11≤x≤20时w随x的增大而减小，

所以当x=11时，w取得最大值，最大值是841.                      

综上得当x=11时，利润最大，最大值是841元

即第11天的利润最大，最大值是841元                        7分

（3）当x=20时，销售价格y₂= —x+40=30，

日销量p= —2x+80=40                            9分

则（30-a）（40+a）=841+284,整理得a²+10a-75=0

解得a=5或a=-15（不合题意，舍去）

所a=5                                                       10分