Question

如图，△ABC中，AB=AC，△ABC的周长是32，且cosB=

3

5

．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值；
（3）动点D从点B出发，在△ABC的边上沿点B→C→A→B路线运动（到达B时运动停止），在运动过程中，若以BD为直径作⊙O，当⊙O与等腰△ABC的边（或边所在的直线）相切时，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）作AD⊥BC于D，由cosB=

3

5

得出cosB=

BD

AB

=

3

5

，设BD=3x，AB=5x，则AC=5x，BC=6x，根据三角形的周长即可求得．
（2）作CE⊥AB于E，根据cosB=

BE

BC

=

3

5

，求得BE，然后解直角三角形求得cosA=

AE

AC

=

14 5

10

=

14

50

=

7

25

，根据sin²A+cos²A=1，即可求得sinA=

24

25

；
（3）分三种情况讨论求得．

解答：解：（1）如图1，作AD⊥BC于D，
∵cosB=

3

5

．
∴cosB=

BD

AB

=

3

5

．
设BD=3x，AB=5x，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴AC=5x，BC=6x，
∵△ABC的周长是32，
∴5x+5x+6x=32，解得x=2，
∴BC=6x=12．
（2）如图2，作CE⊥AB于E，
∵BC=12，
∴AB=AC=10，
∵cosB=

3

5

．
∴

BE

BC

=

3

5

，
∴BE=

3

5

×12=

36

5

，
∴AE=10-

36

5

=

14

5

，
∵cosA=

AE

AC

=

14 5

10

=

14

50

=

7

25

，
∴sin²A+cos²A=1，
∴sinA=

24

25

；
（3）分三种情况；
①当D在BC上时，如图3，⊙O与AC相切于G，

∴OB=OG=R，OG⊥AC，
∵cosB=

3

5

．
∴sinB=

4

5

，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴sinC=

OG

OC

=

R

12-R

=

4

5

，解得，R=

16

3

；
②当D在AC上时，如图4，⊙O与AC相切于D，

∴BD⊥AC，
∵sinC=

BD

BC

=

2R

12

=

4

5

，解得R=

24

5

；
③当D在AB上时，如图5，⊙O与AC相切于G，

∴OG⊥AC，
∵sinA=

OG

OA

=

R

10-R

=

24

25

；
解得R=

240

49

．

点评：本题考查了切线的性质以及解直角三角形，通过作辅助线构建直角三角形是本题的关键．