【题目】如图,在正方形ABCD中,P是BD上一点,AP的延长线交CD于点Q,交BC的延长线于点G,点M是GQ的中点,连接CM.求证:PC⊥MC.
【答案】见解析
【解析】分析:根据正方形的性质可得出∠ADP=∠CDP、AD=CD,结合DP=DP即可证出△ADP≌△CDP(SAS),根据全等三角形的性质可得出∠DCP=∠DAG,由AD∥BG可得出∠DAG=∠G,进而得出∠DCP=∠G,由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出∠MCQ=∠MQC,再结合∠G、∠MQC互余,即可证出∠DCP+∠MCQ=90°,即PC⊥MC.
详解:证明:∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ADP=∠CDP,AD=CD.
在△ADP和△CDP中,
,
∴△ADP≌△CDP(SAS),
∴∠DCP=∠DAG.
又∵四边形ABCD为正方形,
∴AD∥BG,
∴∠DAG=∠G.
∴∠DCP=∠G.
又∵∠QCG=90°,M为GQ中点,
∴CM=QM,
∴∠MCQ=∠MQC.
又∵∠G+∠MQC=90°,
∴∠DCP+∠MCQ=90°,
∴PC⊥MC.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=8cm,BC=10cm,AB=6cm,点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动,点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点C时,两点同时停止运动.若设运动时间为t(s)
(1)直接写出:QD=______cm,PC=_______cm;(用含t的式子表示)
(2)当t为何值时,四边形PQDC为平行四边形?
(3)若点P与点C不重合,且DQ≠DP,当t为何值时,△DPQ是等腰三角形?
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【题目】(1)化简求值:(2+a)(2-a)+a(a-2b)+3a5b÷(-a2b)4,其中ab=-.
(2)因式分解:a(n-1)2-2a(n-1)+a.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1向右平移3个单位,作出平移后的△A2B2C2;
(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并求最小值.
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【题目】如图,在平面内,两条直线L1,L2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线L1,L2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有_____个
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【题目】抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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【题目】如图所示,直线a,b被直线l所截,则图中对顶角有______对,分别是_____________;邻补角有______对,分别是____________;同位角有________对,分别是____________;内错角有________对,分别是____________;同旁内角有______对,分别是__________.
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【题目】四边形是平行四边形,点在边上运动(点不与点,重合)
(1)如图1,当点运动到边的中点时,连接,若平分,证明:;
(2)如图2,过点作且交的延长线于点,连接.若,,,在线段上是否存在一点,使得四边形是菱形?若存在,请说明当发,点分别在线段,上什么位置时四边形是菱形,并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度,他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶端B的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=30m,然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高.(结果用含有根号的式子表示)
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