Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴交于点、两点，轴的负半轴上一点，轴的正半轴上有一点且

（1）如图1，在直线上有一长为的线段（点始终在点的左侧），将线段沿直线平移得到线段，使得四边形的周长最小，请求出四边形周长的最小值和此时点的坐标．

（2）如图2，过作直线交直线与点，将直线沿直线平移，平移后与直线、的交点分别是，．请问，在直线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出此时符合条件的所有点所对应的的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形CDG'F'周长的最小值为3+2+；G'（-7，1）；（2）存在，A'（-2，-1）或A'（-，-）或A'（1+，2+）或A'（-2-，-1-）

【解析】

（1）由题意可得；A（-1，0），B（0，1），C（0，-6），D（3，0），过点D作DN∥AB，过点F'作F'N∥DG'，作点C关于直线AB的对称点G'，连接G'N与AB的交点为F'，此时G'D=F'N，G'F'=F'C，四边形CDG'F'周长=CD+F'G'+CF'+G'D=3+2+F'G'+F'N=3+2+G'N；求出AB的解析式为y=x+1，DN的直线解析式为y=x-3，求得N（1，-2），G'（-7，1），则G'N=，所以四边形CDG'F'周长的最小值为3+2+；
（2）可求得CD的直线解析式为y=2x-6，设P'（m，2m-6），当AP'=DP'时，点P在AD的垂直平分线上，P'（1，-4）；当AD=AP'时，16=（m+1）2+（2m-6）2，P'（，）；当AD=DP'时，16=（m-3）2+（2m-6）2，P'（3+，）或P'（3-，），求出直线AP的解析式，根据平移和P'的坐标求出直线A'P'的解析式，据此求出A'的坐标即可．

（1）由题意可得；A（-1，0），B（0，1），
∵C（0，-6），tan∠OCD=，
∴D（3，0），
∴CD=3，
∵FG=2，
∴F'G'=2，
过点D作DN∥AB，过点F'作F'N∥DG'，作点C关于直线AB的对称点G'，连接G'N与AB的交点为F'，
此时G'D=F'N，G'F'=F'C，
∴四边形CDG'F'周长=CD+F'G'+CF'+G'D=3+2+F'G'+F'N=3+2+G'N；
AB的解析式为y=x+1，
∴DN的直线解析式为y=x-3，
∵ND=2，
∴N（1，-2），
G'（-7，1），
∴G'N=，
∴四边形CDG'F'周长的最小值为3+2+；

（2）存在，

设直线CD的解析式为：，

代入C（0，-6），D（3，0）得：

， 解得：

∴CD的直线解析式为y=2x-6，设P'（m，2m-6），
∵AP⊥AB，
∴AP所在直线解析式为y=-x-1，
当AP'=DP'时，点P在AD的垂直平分线上，
∴P'（1，-4），

∵直线A'P'由直线AP平移得到，

故设直线A'P'的解析式为：y=-x+b1，代入P'（1，-4）得：b1=-3
∴A'P'的直线解析式为y=-x-3，

联立方程组 ，解得：
∴A'（-2，-1）；
当AD=AP'时，16=（m+1）2+（2m-6）2，
∴m=3或m=，
∴P'（3，0）（舍），P'（，）；

同上方法可得：
∴A'P'的直线解析式为y=-x-，
∴A'（-，-）；
当AD=DP'时，16=（m-3）2+（2m-6）2，
∴m=3+或m=3-，
∴P'（3+，）或P'（3-，-）；

同上方法可得：
∴AP'的直线解析式为y=-x+3+，y=-x-3-，
∴A'（1+，2+）或A'（-2-，-1-）；
上所述：A'（-2，-1）或A'（-，-）或A'（1+，2+）或A'（-2-，-1-）．