Question

已知点A（a，1）在抛物线y=4x²上，点P在x轴上，使得△OAP是等腰三角形，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的判定

专题：

分析：先将A点代入解析式求出A点坐标，再分三种情况讨论：以O为顶点；以A为顶点；以P为顶点；分别求出符合题意的点的坐标即可．

解答：解：∵点A（a，1）在抛物线y=4x²上，
∴代入得：1=4a²，
a=±

1

2

，
∴A点的坐标为（±

1

2

，1）；
当A点的坐标为（

1

2

，1）时，假设存在点P，根据△OAP是等腰三角形，
①OA=AP时，此时OP=

1

2

+

1

2

=1，
即P的坐标是（1，0）；
②AP=0P时，P点是OA的垂直平分线与x轴的交点，
则P的坐标为（2，0）
③OA=OP，此时符合条件的有两点P₃，P₄，OA=OP₃=OP₄=

5

2

，
则P的坐标是（

5

2

，0）或（-

5

2

，0）；
故P点坐标为（1，0）或（-1，0）或（2，0）或（-2，0）或（

5

2

，0）或（-

5

2

，0）；

点评：此题主要考查了二次函数图象上点的性质以及等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．