【题目】已知:在菱形 ABCD 中,点 E 是 CD 边上一点,过点 E 作 EF AC 于点 F,交 BC 边于点 G, 交 AB 延长线于点 H.
(1)如图 1,求证:BH=DE;
(2)如图 2,当点 E 是 CD 边中点时,连接对角线 BD 交对角线 AC 于点 O,连接 OG、OE,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请直接写出图 2 中所有的平行四边形(菱形除外).
【答案】(1)证明见解析;(2)平行四边形BHED,平行四边形BHGO,平行四边形OGED,平行四边形OBGE.
【解析】
(1)证△GFC≌△EFC(ASA),得出CG=CE,∠CGF=∠CEF,证出∠H=∠BGH,得出BH=BG,进而得出结论;
(2)由菱形的性质和三角形中位线定理即可得出答案.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,AB∥CD,AC平分∠BCD,
∴∠GCF=∠ECF,
∵EF⊥AC,
∴∠GFC=∠EFC=90°,
在△GFC和△EFC中,
,
∴△GFC≌△EFC(ASA),
∴CG=CE,∠CGF=∠CEF,
∵AB∥CD,
∴∠H=∠CEF,
∵∠BGH=∠CGF,
∴∠H=∠BGH,
∴BH=BG,
∵BC=CD,CG=CE,
∴BC-CG=CD-CE,
即BG=DE;
(2)所有的平行四边形(菱形除外)为平行四边形BHED、平行四边形BHGO、平行四边形OGED、平行四边形OBGE;
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
由(1)得:CG=CE,BH=BG=DE,
∴四边形BHED为平行四边形,
∵点E是CD边中点,BC=CD,
∴CE=DE=BG=CG,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,OB=OD,
∴OE、OG都是△BCD的中位线,
∴OE∥BG,OG∥CD∥AB,OG=CD=DE=BH,OE=BC=BG,
∴四边形OBGE、四边形BHGO、四边形OGED都是平行四边形.
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【题目】在中,,,点是直线上一动点,点是直线上动点,点是直线上一动点,且,.
(1)如图1,当点,,分别在,,边上时,请你判断线段,,之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论;
(2)如图2,当在延长线上,在延长线上,在延长线上时,(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请判断线段,,之间有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(3)若,当时,请直接写出的长.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC (BC>AD),∠D=90°,∠ABE=45°,BC=CD,
若AE=5,CE=2,则BC的长度为_________.
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【题目】正方形ABCD的边长为3,点E在直线CD上,且DE=1,连接BE,作AF⊥BE于点H,交直线BC于点F,连接EF,则EF的长是_________.
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),请你在图中画出这个新图象,当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是( )
A. ﹣<m<3 B. ﹣<m<2 C. ﹣2<m<3 D. ﹣6<m<﹣2
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【题目】某厂的四台机床同时生产直径为的零件,为了了解产品质量,质量检验员从这四台机床生产的零件中分别随机抽取50件产品,经过检测、整理、描述与分析,得到结果如下(单位:):
特征数 机床 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | 9.99 | 9.99 | 10.00 | 0.02 |
乙 | 9.99 | 10.00 | 10.00 | 0.07 |
丙 | 10.02 | 10.01 | 10.00 | 0.02 |
丁 | 10.02 | 9.99 | 10.00 | 0.05 |
从样本来看,生产的零件直径更接近标准要求且更稳定的机床是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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【题目】如图1,汽车以速度V(m/s)匀速行驶,若一路绿灯通过路口A、B、C、D且10≤V≤25,则称V为绿灯速度.已知各路口红灯、绿灯均每隔30 s交替一次,其余因素忽略不计.
(图1)
I.从红绿灯设置到绿灯速度
设汽车在第0秒出发,行驶t s后路程为S m.图2表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况.
(图2)
(1)路段BC的长度为______m,路口A绿灯亮起______s后路口D绿灯亮起;
(2)求出射线OC3所对应的V的值,判断此时V是否为绿灯速度,并说明理由;
(3)写出这种红绿灯设置下绿灯速度的取值范围,并在图2中画出对应的示意图
II.从绿灯速度到红绿灯设置
(4)当V=20时,汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起.根据题意,在图3中画图表示各路口的红绿灯设置.
(图3)
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