【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,过点B作BC的垂线,交对称轴于点E.
(1)求证:点E与点D关于x轴对称;
(2)点P为第四象限内的抛物线上的一动点,当△PAE的面积最大时,在对称轴上找一点M,在y轴上找一点N,使得OM+MN+NP最小,求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值;
(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点D在射线AD上移动,点D平移后的对应点为D′,点A的对应点A′,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,将△FBC沿BC翻折,使点F落在点F′处,在平面内找一点G,若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形,求平移的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3), ,
【解析】试题分析:(1)首先求出A、B、C、D的坐标,再根据△EFB∽△BOC对应边成比例得出方程,推出EF的长度,求出点E的坐标即可解决问题;
(2)过点P作PQ∥y轴,交直线AE于点Q.构建 二次函数,利用二次函数的性质求出点P的坐标,作点O关于对称轴的对称点O′,作点P关于Y轴的对称点P′,连接O′P′,分别交对称轴、y轴于点M、N,此时M、N即为所求;
(3)由题意得F,A,D三点的坐标,设平移距离为 t,则得出A′,D′的坐标,可得A′F2,D′F′2,,A′D′2的长度,然后分三种情形:①当A′F2=D′F′2时,②当A′F′2=A′D′2时,③当D′F′2=A′D′2时列出方程即可解决问题.
试题解析:解:(1)如图1中,令y=0,得到x2﹣x﹣3=0,解得x=﹣或3,∴A(﹣ ,0),B(3 ,0).
令x=0,可得y=﹣3,∴C(0,﹣3).
∵y= x2﹣ x﹣3=(x﹣ )2﹣4,∴顶点D( ,﹣4),设对称轴与x轴交于F,则BF=2 .
∵△EFB∽△BOC,∴ EF:OB=BF:OC,∴ ,∴EF=4,∴E( ,4),∴E、D关于x轴对称;
(2)过点P作PQ∥y轴,交直线AE于点Q.
∵yAE= x+2,∴设P(a, a2﹣a﹣3),Q(a, a+2),(0<a<3),∴PQ=(a+2)﹣(a2﹣a﹣3)=﹣a2+2 a+5,∴S△PAE= PQ|xE﹣xA|= (﹣a2+2a+5)2=﹣a2+4a+5,∴当a= =2时,S△PAE最大,此时P(2,﹣3).
作点O关于对称轴的对称点O′(2,0),作点P关于Y轴的对称点P′(﹣2,﹣3).连接O′P′,分别交对称轴、y轴于点M、N,此时M、N即为所求.
∴yP′O′=x﹣,当x=时,y=﹣,∴M(,﹣),∴OM+MN+NP的最小值O′P′== ;
(3)∵F′(,﹣),A(﹣+t,﹣2t),D(,﹣4),
设平移距离为 t,则A′(﹣ + t,﹣2t),D′( +t,﹣4﹣2t),
A′F2=6t2﹣24t+,D′F′2=6t2+,A′D′2=24,
①当A′F2=D′F′2时,6t2﹣24t+ =6t2+,解得t=1.
②当A′F′2=A′D′2时,6t2﹣24t+ =24,解得t=.
③当D′F′2=A′D′2时,24=6t2+ ,解得t=或﹣(舍弃),
∴平移的距离t= , , .
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【题目】朗读者自开播以来,以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀,感动了数以亿计的观众,岳池县某中学开展“朗读”比赛活动,九年级、班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩满分为100分如图所示.
平均数 | 中位数 | 众数 | |
九班 | 85 | 85 | |
九班 | 80 |
根据图示填写表格;
结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩较好;
如果规定成绩较稳定班级胜出,你认为哪个班级能胜出?说明理由.
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【题目】某班“数学兴趣小组”对函数y=|x|-2的图象特征进行了探究,探究过程如下:
⑴自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值如下:
x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | 1 | m | -1 | -2 | n | 0 | 1 | 2 | … |
其中,m= ,n= .
⑵根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出函数图象;
⑶观察函数图象,写出一条特征: .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AB=8,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF.若四边形ABED的面积等于12,则平移距离等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与y轴交于点,与x轴交于点B,,直线CD与y轴交于点D,与x轴交于点,,直线AB与直线CD交于点Q,E为直线CD上一动点,过点E作x轴的垂线,交直线AB于点M,交x轴于点N,连接AE、BE.
求直线AB、CD的解析式及点Q的坐标;
当E点运动到Q点的右侧,且的面积为时,在y轴上有一动点P,直线AB上有一动点R,当的周长最小时,求点P的坐标及周长的最小值.
在问的条件下,如图2将绕着点B逆时针旋转得到,使点M与点G重合,点N与点H重合,再将沿着直线AB平移,记平移中的为,在平移过程中,设直线与x轴交于点F,是否存在这样的点F,使得为等腰三角形?若存在,求出此时点F的坐标;若不存在,说明理由
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【题目】甲、乙两人两次同时在一家粮店购买大米,两次大米的价格分别为每千克a元和b元(a≠b).甲每次买100千克大米,乙每次买100元大米.
(1)用含a、b的代数式表示:甲两次购买大米共需付款 元,乙两次共购买 千克大米.若甲两次购买大米的平均单价为每千克Q1元,乙两次购买大米的平均单价为每千克Q2元.则:Q1= ;Q2= .
(2)若规定谁两次购粮的平均价格低,谁购粮的方式就更合理,请你判断比较甲、乙两人的购粮方式,哪一个更合理,并说明你的理由.
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【题目】一次函数和的图象如图所示,且,.
(1)由图可知,不等式的解集是______;
(2)若不等式的解集是.
①点的坐标为______.
②的值为_______.
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【题目】某单位在疫情期间用 3000 元购进 A、B 两种口罩1100 个,购买A种口罩与购买 B 种口罩的费用相同,且A种口罩的单价是 B 种口罩单价的 1.2 倍求 A,B 两种口罩的单价各是多少元?
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