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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,过点BBC的垂线,交对称轴于点E

1)求证:点E与点D关于x轴对称;

2)点P为第四象限内的抛物线上的一动点,当PAE的面积最大时,在对称轴上找一点M,在y轴上找一点N,使得OM+MN+NP最小,求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值;

3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点D在射线AD上移动,点D平移后的对应点为D,点A的对应点A,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,将FBC沿BC翻折,使点F落在点F处,在平面内找一点G,若以FGDA为顶点的四边形为菱形,求平移的距离.

【答案】1)证明见解析;(2;(3

【解析】试题分析:(1)首先求出ABCD的坐标,再根据EFBBOC对应边成比例得出方程,推出EF的长度,求出点E的坐标即可解决问题;

2)过点PPQy轴,交直线AE于点Q.构建 二次函数,利用二次函数的性质求出点P的坐标,作点O关于对称轴的对称点O,作点P关于Y轴的对称点P,连接OP,分别交对称轴、y轴于点MN,此时MN即为所求;

3)由题意得FAD三点的坐标,设平移距离为 t,则得出AD的坐标,可得AF2DF2AD2的长度,然后分三种情形AF2=DF2时,AF2=AD2时,DF2=AD2时列出方程即可解决问题

试题解析:解:1)如图1中,令y=0,得到x2x3=0,解得x=3A 0),B3 0).

x=0,可得y=﹣3C0﹣3).

y= x2 x3=x 24顶点D 4),设对称轴与x轴交于F,则BF=2

EFBBOC EFOB=BFOC EF=4E 4),ED关于x轴对称

2)过点PPQy轴,交直线AE于点Q

yAE= x+2Pa a2a3),Qa a+2),(0a3),PQ=a+2a2a3=a2+2 a+5SPAE= PQ|xExA|= a2+2a+52=a2+4a+5a= =2时,SPAE最大,此时P23).

作点O关于对称轴的对称点O20),作点P关于Y轴的对称点P23).连接OP,分别交对称轴、y轴于点MN,此时MN即为所求.

yPO=x,当x=时,y=M),OM+MN+NP的最小值OP′==

3F),A+t2t),D4),

设平移距离为 t,则A + t2t),D +t42t),

AF2=6t224t+DF2=6t2+AD2=24

AF2=DF2时,6t224t+ =6t2+,解得t=1

AF2=AD2时,6t224t+ =24,解得t=

DF2=AD2时,24=6t2+ ,解得t=或﹣(舍弃),

平移的距离t=

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平均数

中位数

众数

85

85

80

根据图示填写表格;

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x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

1

m

-1

-2

n

0

1

2

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⑶观察函数图象,写出一条特征: .

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