【题目】如图,在等边△ABC中,边长为6,D是BC边上的动点,∠EDF=60°.
(1)求证:△BDE∽△CFD;
(2)当BD=1,CF=3时,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:
(1)由题意可得,∠B=∠C=60°,∠BDE+∠CDF=120°,∠BDE+∠BED=120°,由此可得:∠CDF=∠BED,从而可得:△BDE∽△CFD;
(2)由△BDE∽△CFD可得: ,由已知易得:CD=BC-BD=5-1=4,由此可得: ,解得BE=.
试题解析:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BDE+∠BED=120°.
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE+∠CDF=120°,
∴∠CDF=∠BED,
∴△BDE∽△CFD;
(2)∵等边△ABC的边长为5,BD=1,
∴CD=BC-BD=4.
∵△BDE∽△CFD,
∴,即,
∴BE=.
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【题目】已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG,都是正方形,设BC=x,
(1)AC=______;
(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S,用x表示S的函数解析式为S=_____.
(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?
(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?
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【题目】在将式子(m>0)化简时,
小明的方法是:===;
小亮的方法是: ;
小丽的方法是:.
则下列说法正确的是( )
A. 小明、小亮的方法正确,小丽的方法不正确
B. 小明、小丽的方法正确,小亮的方法不正确
C. 小明、小亮、小丽的方法都正确
D. 小明、小丽、小亮的方法都不正确
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【题目】△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)、(5,2).
(1)将△AOB向左平移3个单位长度,向下平移4个单位长度,得到对应的△A1O1B1,画出△A1O1B1并写出点A1、O1、B1的坐标.
(2)求出△AOB的面积.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合),一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒.
(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,则:AP= cm;QC= cm.(用含t的代数式表示)
(2)若点P为3cm/s的速度移动,点Q以2cm/s的速度移动,经过多长时间PD=PQ,使△DPQ为等腰三角形?
(3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,经过多长时间,四边形BPDQ为菱形?
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【题目】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
【答案】(1)m的值为6;(2)17.
【解析】试题分析:
(1)由题意和根与系数的关系可得:x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5;由(x1-1)(x2-1)=28,可得:x1x2-(x1+x2)=27;从而得到:m2+5-2(m+1)=27,解方程求得m的值,再由“一元二次方程根的判别式”进行检验即可得到m的值;
(2)①当7为腰长时,则方程的两根中有一根为7,代入方程可解得m的值(此时m的取值需满足根的判别式△ ),将m的值代入原方程,可求得两根(此时两根和7需满足三角形三边之间的关系),从而可求得等腰三角形的周长;
②当7为底边时,则方程的两根相等,由此可得“根的判别式△=0”,从而可得关于m的方程,解方程求得m的值,代入原方程可求得方程的两根,再由三角形三边之间的关系检验即可.
试题解析:
(1)(x1-1)(x2-1)=28,即x1x2-(x1+x2)=27,而x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5,
∴m2+5-2(m+1)=27,
解得m1=6,m2=-4,
又Δ=[-2(m+1)]2-4×1×(m2+5)≥0时,m≥2,
∴m的值为6;
(2) 若7为腰长,则方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的一根为7,
即72-2×7×(m+1)+m2+5=0,
解得m1=10,m2=4,
当m=10时,方程x2-22x+105=0,根为x1=15,x2=7,不符合题意,舍去.
当m=4时,方程为x2-10x+21=0,根为x1=3,x2=7,此时周长为7+7+3=17
若7为底边,则方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两等根,
∴Δ=0,解得m=2,此时方程为x2-6x+9=0,根为x1=3,x2=3,3+3<7,不成立,
综上所述,三角形周长为17
点睛:(1)一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件是方程要有实数根,即“根的判别式△ ”;(2)涉及三角形边长的问题中,解得的结果都需要用“三角形三边之间的关系”检验,看三条线段能否围成三角形.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,已知在△ABC中,D是AB的中点,且∠ACD=∠B,若 AB=10,求AC的长.
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【题目】如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A∶P′C=1∶3,则P′A∶PB=( )
A. 1∶ B. 1∶2 C. ∶2 D. 1∶
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【题目】综合与探究
数学课上,老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动,探究有关线段之间的关系.
问题情境:
如图1,三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.将点C放在直线l上,点A,B位于直线l的同侧,过点A作AD⊥l于点D.
初步探究:
(1)在图1的直线l上取点E,使BE=BC,得到图2.猜想线段CE与AD的数量关系,并说明理由;
变式拓展:
(2)小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作,其中∠MPN=90°,MP=NP.小颖在图 1 的基础上,将三角形纸片MPN的顶点P放在直线l上,点M与点B重合,过点N作NH⊥l于点 H.
请从下面 A,B 两题中任选一题作答,我选择_____题.
A.如图3,当点N与点M在直线l的异侧时,探究此时线段CP,AD,NH之间的数量关系,并说明理由.
B.如图4,当点N与点M在直线l的同侧,且点P在线段CD的中点时,探究此时线段CD,AD,NH之间的数量关系,并说明理由.
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