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【题目】如图,已知二次函数的图象经过点A-36),并与x轴交于点B-10)和点C,顶点为点P

1)求这个二次函数解析式;

2)设Dx轴上一点,满足∠DPC=BAC,求点D的坐标;

3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点N,使AM+MN的值最小?若存在,求出MN的坐标:若不存在,请说明理由.

【答案】1)点C坐标为(30),点P1-2);(2)点P70);(3)点N-).

【解析】

1)将点AB坐标代入二次函数表达式,即可求解;
2)利用SABC= ×AC×BH= ×BC×yA,求出sinα= ,则tanα= ,在PMD中,tanα= = ,即可求解;
3)作点A关于对称轴的对称点A′56),过点A′A′NAP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,即可求解.

1)将点AB坐标代入二次函数表达式得:,解得:

故:抛物线的表达式为:y=x2-x-

y=0,则x=-13,令x=0,则y=-

故点C坐标为(30),点P1-2);

2)过点BBHAC交于点H,过点PPGx轴交于点G

设:∠DPC=BAC

由题意得:AB=2AC=6BC=4PC=2

SABC=×AC×BH=×BC×yA

解得:BH=2

sinα===,则tanα=

由题意得:GC=2=PG,故∠PCB=45°

延长PC,过点DDMPC交于点M

MD=MC=x

PMD中,tanα===

解得:x=2,则CD=x=4

故点P70);

3)作点A关于对称轴的对称点A56),

过点AANAP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,

直线AP表达式中的k值为:=-2,则直线AN表达式中的k值为

设直线AN的表达式为:y=x+b

将点A坐标代入上式并求解得:b=

故直线AN的表达式为:y=x+①,

x=1时,y=4

故点M14),

同理直线AP的表达式为:y=-2x②,

联立①②两个方程并求解得:x=-

故点N-).

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