【题目】如图,已知二次函数的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为点P.
(1)求这个二次函数解析式;
(2)设D为x轴上一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;
(3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点N,使AM+MN的值最小?若存在,求出M、N的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点C坐标为(3,0),点P(1,-2);(2)点P(7,0);(3)点N(-,).
【解析】
(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)利用S△ABC= ×AC×BH= ×BC×yA,求出sinα= ,则tanα= ,在△PMD中,tanα= = ,即可求解;
(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6),过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,即可求解.
(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:,解得:,
故:抛物线的表达式为:y=x2-x-,
令y=0,则x=-1或3,令x=0,则y=-,
故点C坐标为(3,0),点P(1,-2);
(2)过点B作BH⊥AC交于点H,过点P作PG⊥x轴交于点G,
设:∠DPC=∠BAC=α,
由题意得:AB=2,AC=6,BC=4,PC=2,
S△ABC=×AC×BH=×BC×yA,
解得:BH=2,
sinα===,则tanα=,
由题意得:GC=2=PG,故∠PCB=45°,
延长PC,过点D作DM⊥PC交于点M,
则MD=MC=x,
在△PMD中,tanα===,
解得:x=2,则CD=x=4,
故点P(7,0);
(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6),
过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,
直线AP表达式中的k值为:=-2,则直线A′N表达式中的k值为,
设直线A′N的表达式为:y=x+b,
将点A′坐标代入上式并求解得:b=,
故直线A′N的表达式为:y=x+…①,
当x=1时,y=4,
故点M(1,4),
同理直线AP的表达式为:y=-2x…②,
联立①②两个方程并求解得:x=-,
故点N(-,).
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【题目】如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.点E为射线 BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为__________ .
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD⊥AD.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)作AG⊥CB于G,若AD=1,AG=2,求sinC的值;
(3)若(2)中的四边形AGCD为一不可卷折的板材,问该板材能否通过一直径为1.8的圆洞门?请计算说明.
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【题目】两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中,OA在x轴上,已知∠COD=∠OAB=90°,OC=,反比例函数y=的图象经过点B.
(1)求k的值.
(2)把△OCD沿射线OB移动,当点D落在y=图象上时,求点D经过的路径长.
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【题目】八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件:如图所示,在四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,____,求证:四边形AECF是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗?
条件分别是:①BE=DF;②∠B=∠D;③BAE=∠DCF;④四边形ABCD是平行四边形.
其中A、B、C、D四位同学所填条件符合题目要求的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ①④D. ④
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【题目】如图,AB是长为10m,倾斜角为30°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数).(参考数据:sin65°=0.90,tan65°=2.14)
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【题目】如图,将放在平面直角坐标系中,点,点,点动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动,同一时间,动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.过点作,交于点,连接,设运动时间为秒(t.
(Ⅰ)用含的代数式表示;
(Ⅱ)①是否存在的值,使四边形为平行四边形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
②是否存在的值,使四边形为菱形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)在整个运动过程中,求出线段的中点所经过的路径长.(直接写出结果即可).
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【题目】在△ABC中,∠ABC=45°,∠C=60°,⊙O经过点A,B,与BC交于点D,连接AD.
(Ⅰ)如图①.若AB是⊙O的直径,交AC于点E,连接DE,求∠ADE的大小.
(Ⅱ)如图②,若⊙O与AC相切,求∠ADC的大小.
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