【题目】如图,将放在平面直角坐标系中,点,点,点动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动,同一时间,动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.过点作,交于点,连接,设运动时间为秒(t.
(Ⅰ)用含的代数式表示;
(Ⅱ)①是否存在的值,使四边形为平行四边形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
②是否存在的值,使四边形为菱形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)在整个运动过程中,求出线段的中点所经过的路径长.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)①存在,;②不存在,四边形不能为菱形,见解析;(Ⅲ)线段中点所经过的路径长为.
【解析】
(Ⅰ)根据题意得到OQ=2t,AP=t,求出BQ=8-2t,证明△ADP∽△ABO,根据相似三角形的性质求出PD;
(Ⅱ)①根据平行四边形的判定方法得出BQ=DP,列出关于t的方程,解方程即可;②先根据勾股定理得出AB的长,再根据平行线分线段成比例定理可得AD=,,根据①中是平行四边形时t的值求出PD和BD的值即可判定.
(Ⅲ)根据点Q在BO上运动,点P在AO上运动,得出线段PQ的中点M的运动路径为一条线段,确定点Q分别与点O、点B重合时PQ的中点M的位置,再进一步求解可得.
解:(I)∵点,点,
∴, ,
且由题意, , ,
∵,
∴,
又,, ,
∴
∴.
(Ⅱ)①∵,若,
∴则四边形是平行四边形,
即,解得:.
∴当时,∴四边形为平行四边形.
②不存在,理由如下:
∵, ,
∴在中, ,
∵,∴,,,
∴当,四边形为平行四边形时,
,
∴,
∴四边形PDBC不能为菱形.
(Ⅲ))∵点Q在BO上运动,点P在AO上运动,
∴线段PQ的中点M的运动路径为一条线段,
∵当Q在点O时,点P在点A处,
∵点M为PQ的中点
∴OM=PQ=,
∵当Q在点B时,AP=4,则OP=2
此时,连接PQ,取PQ的中点,过作OA于E,
∴OE=1,
∴EM=2,
∵AO⊥BO、E⊥OA,
∴E∥BO,
∵为PQ的中点,
∴E为△BOP的中位线,
∴E=BO=4,
点M的运动路径为M==2.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上,且OA=2,OC=1.在第二象限内,将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍,得到矩形A1OC1B1,再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍,得到矩形A2OC2B2…,以此类推,得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 .
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【题目】如图,已知二次函数的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为点P.
(1)求这个二次函数解析式;
(2)设D为x轴上一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;
(3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点N,使AM+MN的值最小?若存在,求出M、N的坐标:若不存在,请说明理由.
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【题目】第一个盒子中有2个白球,1个黄球,第二个盒子中有1个白球,1个黄球,这些球除颜色外都相同,分别从每个盒中随机取出一个球.
(1)求取出的两个球中一个是白球,一个是黄球的概率;
(2)若第一个盒子中有2个白球,1个黄球,第二个盒子中有1个白球,1个黄球,其他条件不变,则取出的两个球都是黄球的概率为________.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,有,点都在格点上
(I)的面积等于__________;
(Ⅱ)求作其内接正方形,使其一边在上,另两个顶点各在上在如图所示的网格中,请你用无刻度的直尺画出该正方形,并简要说明画图的方法(不要求证明)
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【题目】某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳,我为家乡做代言”主题演讲比赛,经研究,按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评(因排版原因统计图不完整).下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况:
项目 选手 | 服装 | 普通话 | 主题 | 演讲技巧 |
李明 | 85 | 70 | 80 | 85 |
张华 | 90 | 75 | 75 | 80 |
结合以上信息,回答下列问题:
(1)求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小;
(2)求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数;
(3)根据你所学的知识,帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳,我为家乡做代言”主题演讲比赛,并说明理由.
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【题目】如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点.
(1)求证:DE为⊙O切线;
(2)若⊙O的半径为3,sin∠ADP=,求AD;
(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明.
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【题目】某个周末,小丽从家去园博园参观,同时妈妈参观结束从园博园回家,小丽刚到园博园就发现要下雨,于是立即按原路返回,追上妈妈后,两人一同回家(小丽和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走)如图是两人离家的距离y(米)与小丽出发的时间x(分)之间的函数图象,请根据图象信息回答下列问题:
(1)求线段BC的解析式;
(2)求点F的坐标,并说明其实际意义;
(3)与按原速度回家相比,妈妈提前了几分钟到家?并直接写出小丽与妈妈何时相距800米.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,连接AC,BF,且BF∥CD.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若⊙O的半径为,AF=2,求CD的长度.
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