Question

9．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，弦CA、BD的延长线交于S，∠APD=2m°，∠PAC=m°+15°，
（1）求∠S的度数；
（2）连AD、BC，若$\frac{BC}{AD}$=$\sqrt{3}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）如图1根据三角形的外角的性质列方程即可得到结论；
（2）如图2，过D作DH⊥CS于H，根据相似三角形的性质得到$\frac{CS}{DS}$=$\frac{BC}{AD}$=$\sqrt{3}$，设CS=$\sqrt{3}$k，DS=k，解直角三角形得到CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，得到CD=DS，根据等腰三角形的性质得到∠DCS=∠S=30°，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，∵∠PAC=∠B+∠S=∠C+∠S，
∵∠PAC=m°+15°，
∴∠C=m°+15°-∠S，
∵∠C=∠APD-∠PAC=2m°-（m°+15°），
∴m°+15°-∠S=2m°-（m°+15°），
∴∠S=30°；
（2）如图2，过D作DH⊥CS于H，
∵∠S=∠S，∠ADS=∠ACB，
∴△BCS∽△ADS，
∴$\frac{CS}{DS}$=$\frac{BC}{AD}$=$\sqrt{3}$，
设CS=$\sqrt{3}$k，DS=k，
∵∠S=30°，
∴HS=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DS=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，
∴CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，
∴CH=SH，
∴CD=DS，
∴∠DCS=∠S=30°，
∴2m°-（m°+15°）=30°，
∴m=45．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．