Question

【题目】如图，在中，，点P是边上的动点（不与点A，B重合）．把沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为．

（1）若点D恰好在边上．

①如图1，当时，连结，求证：．

②如图2，当，且，，求与的周长差．

（2）如图3，点P在边上运动时，若直线l始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3）不变，理由见解析．

【解析】

（1）①由折叠的性质和平行线的性质可得BQ=QC，再由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；

②先根据勾股定理求出AP的长，再根据三角形周长的求法即可得出结论；

（2）根据折叠的性质得出DP=BP，AP=CP，再根据SAS证明△DPA≌△BPC，得出S△ACD=S△ABC，即可得出结论．

（1）①由折叠的性质可知：BQ=DQ，∠BQP=∠PQD．

∵PQ∥AC，∴∠BQP=∠C，∠PQD=∠QDC，

∴∠C=∠QDC，∴DQ=CQ，

∴BQ=QC．

∵AB=AC，∴AQ⊥BC．

②设AP=x，则AB=AC=x+3．

∵AC=AD+DC=AD+2，∴AD=x+1．

∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，

∴，

∴，

解得：x=4．

△ABC的周长-△CDQ的周长=AB+AC+BC-（DC+CQ+DQ）

=AB+AC+BC-（DC+CQ+BQ）

=AB+AC+BC-（DC+BC）

=AB+AC-DC

=2AB-DC

=2（x+3）-2

=2x+4

=2×4+4

=12．

（2）S△ACD不会发生变化．理由如下：

连接BD，

∵B是关于直线l的对称点，

∴ ,

∴

∵S△ACD=S△ABC是固定不变的，

∴S△ACD不会发生变化．