Question

【题目】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC、DC（或它们的延长线）于点M，N.

（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN=MN；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想。（不需要证明）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DN-BM=MN

【解析】

（1）根据题意延长CB至E使得BE=DN，连接AE，利用全等三角形判定证明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，等量代换即可求证BM+DN=MN；

（2）由题意在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．

解：（1）证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，

在△ADN和△ABE中

∵AD=AB∠D=∠ABEDN=BE，

△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，

∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAM=∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，

∴△EAM≌△NAM，

∴MN=ME，

∵ME=BM+BE=BM+DN，

∴BM+DN=MN；

（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN-BM=MN．

证明：如图2，在DN上截取DE=MB，连接AE，

∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，

∴△ABM≌△ADE（SAS）．

∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，

∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，

∴∠DAE+∠BAN=45°，

∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，

∵在△AMN和△AEN中，AM＝AE，∠MAN＝∠EAN，AN＝AN，

∴△AMN≌△AEN（SAS），

∴MN=EN，

∵DN-DE=EN，

∴DN-BM=MN．