【题目】如图,直线l1:分别与x轴、y轴交于A、B两点,点C为x轴上任意一点,直线l2:经过点C,且与直线l1交于点D,与y轴交于点E,连结AE.
(1)当点C的坐标为时,①求直线l2的函数表达式;②求证:AE平分;
(2)问:是否存在点C,使是以CE为一腰的等腰三角形?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①;②答案见解析;(2)存在点C使是以CE为一腰的等腰三角形, 点C的坐标为(3,0)或(8,0).
【解析】
(1)①由点C的坐标,利用待定系数法即可求出b值,此题得解;
②利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、E的坐标,利用勾股定理以及两点间的距离即可求出AC=AB,由正切的定义即可得出∠ABO=∠ACD,结合公共角即可利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABO≌△ACD,从而得出AO=AD、∠ADC=∠AOB=90°,再利用全等直角三角形的判定定理HL即可证出Rt△ADE≌Rt△AOE,根据全等三角形的性质可找出∠DAE=∠OAE,由此即可证出AE平分∠BAC;
(2)△ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况:①CE=AE时,利用等腰三角形的性质结合点A的坐标即可得出点C的坐标;②当CA=CE时,设点C(m,0)(m>0),则OC=m,OE=OC=m,CA=m+2,利用勾股定理求出CE,由CA=CE即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出点C的坐标.综上即可得出结论.
(1)①将C(2,0)代入y=,0=,解得: ,
∴直线l2的函数表达式为 .
②证明:当 时,x=3,
∴点A(3,0),
∴ , ,AC=2(3)=5=AB.
∵当x=0时 ,
∴ ,
∴∠ABO=∠ACD.
在△ABO和△ACD中,
,
∴△ABO≌△ACD(ASA),
∴ .
在Rt△ADE和Rt△AOE中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△AOE(HL),
∴∠DAE=∠OAE,
∴AE平分∠BAC.
(2)△ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况:
①当AE=CE时,
∵EO⊥AC,
∴OC=OA,
∴点C(3,0);
②当CA=CE时,设点C(m,0)(m>0),则 ,CA=m+2,
∴ ,
∴ ,
解得:m=8,
∴点C(8,0).
综上所述:存在点C,使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形,点C的坐标为(3,0)或(8,0).
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(﹣3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H,连接BM.
(1)菱形ABCO的边长
(2)求直线AC的解析式;
(3)动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,
①当0<t<时,求S与t之间的函数关系式;
②在点P运动过程中,当S=3,请直接写出t的值.
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【题目】阅读下列材料,然后解决问题:和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用,截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段,或将某条线段延长,使之与某特定线段相等,再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
(1)如图1,在△ABC中,若 AB=12,AC=8,求 BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使 DE=AD,再连接 BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中.利用三角形三边的关系即可判断中线 AD的取值范围是_______.
问题解决:
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,E、F分别是边BC,CD上的两点,且∠EAF=∠BAD,求证:BE+DF=EF.
问题拓展:
(3)如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,点D是△ABC 外角平分线上一点,DE⊥AC交 CA延长线于点E,F是 AC上一点,且DF=DB.
求证:AC﹣AE=AF.
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【题目】小明同学在学习整式时发现,如果合理地使用乘法公式可以简化运算,于是在解此道计算题时他是这样做的(如下):
第一步
第二步
小华看到小明的做法后,对他说:“你做错了,在第一步运用公式时出现了错误,你好好检查一下.”小明认真仔细检查后,自己发现了一处错误圈画了出来,并进行了纠正(如下):
小华看到小明的改错后说:“你还有错没有改出来.”
(1)你认为小华说的对吗?_________(填“对”或“不对”);
(2)如果小华说的对,那么小明还有哪些错误没有找出来,请你帮助小明把第一步中的其它错误圈画出来并改正,然后写出此题的正确解题过程.
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【题目】 如图,在直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),AB=5,对△OAB连续做旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2017的直角顶点的坐标为______.
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【题目】一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向运动{即(0,0)﹣(0,1)﹣(1,1)﹣(1,0)…},且每秒移动一个单位,那么第35秒时质点所在位置的坐标是( )
A. (4,0)B. (5,0)C. (0,5)D. (5,5)
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【题目】 已知:如图,A(-2,1)B(-3,-2),C(1,-2)把△AEC向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到△A'B'C'.
(1)画出△A'B'C';
(2)若点P(m,n)是△ABC边上的点,经上述平移后,点P的对应点为P',写出点P'的坐标为______;
(3)连接AA',CC',求出四边形A'ACC'的面积.
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【题目】 如图1,在平面直角坐标系中,第一象限内长方形ABCD,AB∥y轴,点A是(1,1),点C(a,b),满足.
(1)求长方形ABCD的面积;
(2)如图2,长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右平移,同时点E从原点O出发,沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.
①当t=5时,求三角形OMC的面积;
②若AC∥ED,求t的值.
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【题目】为了解某社区20~60岁居民最喜欢的支付方式,某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查(每人只能选择其中一项),并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题:
(1)求参与问卷调查的总人数;
(2)补全条形统计图;
(3)该社区参与问卷调查人中,用微信支付方式的哪个年龄段人数多?
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