【题目】阅读下列材料,然后解决问题:和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用,截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段,或将某条线段延长,使之与某特定线段相等,再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
(1)如图1,在△ABC中,若 AB=12,AC=8,求 BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使 DE=AD,再连接 BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中.利用三角形三边的关系即可判断中线 AD的取值范围是_______.
问题解决:
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,E、F分别是边BC,CD上的两点,且∠EAF=∠BAD,求证:BE+DF=EF.
问题拓展:
(3)如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,点D是△ABC 外角平分线上一点,DE⊥AC交 CA延长线于点E,F是 AC上一点,且DF=DB.
求证:AC﹣AE=AF.
【答案】(1)2<AD<10;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)延长 AD 到点 E 使 DE=AD,连接 BE,证明△ADC≌△EDB,根据全等三角形的性质得到 BE=AC,根据三角形三边关系计算;
(2)延长 CB 到 G,使 BG=DF,证明△ABG≌△ADF,根据全等三角形的性质得到 AG=AF,∠GAB=∠FAD,证明△AEG≌△AEF,根据全等三角形的性质证明;
(3)作 DH⊥AB 于 H,在 AB 上截取 BR=AF,分别证明 Rt△DEF≌Rt△DHB,
△DAF≌△DRB,根据全等三角形的性质证明.
解:(1)延长 AD 到点E使 DE=AD,连接 BE,
在△ADC 和△EDB中,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴BE=AC=8,
AB﹣BE<AE<AB+BE,即21﹣8<2AD<12+8,
∴2<AD<10,
故答案为:2<AD<10;
(2)证明:延长 CB 到 G,使 BG=DF,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABG=180°,
∴∠ADC=∠ABG,
在△ABG 和△ADF 中,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴AG=AF,∠GAB=∠FAD,
∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE= ∠BAD,
∴∠GAE=∠FAE,
在△AEG 和△AEF 中,
∴△AEG≌△AEF(SAS),
∴EF=GE,
∴EF=BE+BG=BE+DF;
(3)证明:作 DH⊥AB 于 H,在 AB 上截取 BR=AF,
∵∠CAB=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC,
∵点 D 是△ABC 外角平分线上一点,DE⊥AC,DH⊥AB,
∴DE=DH,AH=AE,
在 Rt△DEF 和 Rt△DHB 中,
∴Rt△DEF≌Rt△DHB(HL)
∴∠DFA=∠DBA,
在△DAF 和△DRB 中,
∴△DAF≌△DRB(SAS)
∴DA=DR,
∴AH=HR=AE= AR,
∵AF=BR=AB﹣AR=2AC﹣2AE
∴AC﹣AE=AF.
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【题目】某房产开发公司对一幢住宅楼的标价是:基价2580元/平方米,楼层差价如下表:
老王买了面积为80平方米的三楼.
(1)问老王花了多少钱?
(2)若他用同样多的钱去买六楼,请你帮老王算一算他可以多买多少平方米的房子?
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【题目】问题情景:
如图,在直角坐标系xOy中,点A、B为二次函数y=ax2(a>0)图象上的两点,且点A、B的横坐标分别为m、n(m>n>0),连接OA、AB、OB.设△AOB的面积为S时,解答下列问题:
(1)探究:当a=1时,
mn | m﹣n | S | |
m=3,n=1 | 3 | 2 | |
m=5,n=2 | 10 | 3 |
当a=2时,
2mn | m﹣n | S | |
m=3,n=1 | 6 | 2 | |
m=5,n=2 | 20 | 3 |
(2)归纳证明:对任意m、n(m>n>0),猜想S=(用a,m,n表示),并证明你的猜想.
(3)拓展应用:
若点A、B的横坐标分别为m、n(m>0>n),其它条件不变时,△AOB的面积S=(用a,m,n表示).
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是边BC的中点,连接 DH与 BE相交于点 G,若GE=3,则BF=_____.
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【题目】如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点 D,E分别在AB,BC上,且AD=BE,BD=AC,过E作EF⊥AB于F.
(1)求证:∠FED=∠CED;
(2)若 BF=,直接写出 CE的长为_______.
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【题目】如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,下列说法:①△ABD 和△ACD面积相等;②∠BAD=∠CAD;③△BDF≌△CDE;④BF∥CE;⑤CE=AE.其中正确的是( )
A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤
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【题目】某市三景区是人们节假日游玩的热点景区,某学校对九(1)班学生“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查,调查分四个类别,A:三个景区;B:游两个景区;C:游一个景区;D:不到这三个景区游玩,现根据调查结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图如下:
请结合图中信息解答下列问题:
(1)九(1)班现有学生人,在扇形统计图中表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校九年级有1000名学生,求计划“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的学生多少名?
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【题目】如图,等边△ABC的边长为 1,CD⊥AB 于点 D,E 为射线 CD 上一点,以BE为边在 BE 左侧作等边△BEF,则DF的最小值为_____.
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【题目】在哈市地铁一号线施工建设中,安排甲、乙两个工程队完成大连北路至新疆大街路段的铁轨铺设任务,该路段全长3600米.已知甲队每天铺设铁轨的米数是乙队每天铺设铁轨米数的1.5倍,并且甲、乙两队分别单独完成600米长度路段时,甲队比乙队少用10天.
(1)求甲、乙两个工程队每天各能铺设铁轨多少米?
(2)若甲队每天施工的费用为4万元,乙队每天施工的费用为3万元,要使甲、乙两队合作完成大连北路至新疆大街全长3600米的总费用不超过520万元,则至少应安排甲队施工多少天?
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