Question

如图，在边长为3的等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，AD=BE=CF=1．
（1）求证：△DEF是等边三角形；
（2）猜想DE与BC的位置关系，并加以验证．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形；
（2）假设△BDE是直角三角形，令∠BED是直角，则BE²+DE²=BD²，根据勾股定理列方程，解答出即可．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
在△ADF和△BED和△CFE中，

AD=BE=CF ∠A=∠B=∠C AF=BD=CE

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形．
（2）如果△BDE是直角三角形，令∠BED是直角，根据勾股定理的逆定理得：BE²+DE²=BD²，设BD=x，
则（

3

2

x）²+（3-x）²=x²，
解得，x₁=6（舍去），x₂=2；
所以BD=BC-AD=2时，△BDE是直角三角形．
即DE⊥BC．

点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，以及勾股定理的运用，根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解题关键．