Question

【题目】已知：如图，⊙O的半径为r，在射线OM上任取一点P（不与点O重合），如果射线OM上的点P'，满足OP·OP'=r2，则称点P'为点P关于⊙O的反演点．

在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．

(1)已知点A (4，0)，求点A关于⊙O的反演点A'的坐标；

(2)若点B关于⊙O的反演点B'恰好为直线与直线x=4的交点，求点B的坐标；

(3)若点C为直线上一动点，且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部，求点C的横坐标m的范围；

(4)若点D为直线x=4上一动点，直接写出点D关于⊙O的反演点D'的横坐标t的范围．

Answer 1

【答案】（1）A’(1，0)；（2）B(，)；（3）m >1或 m <-1；（4）0<t≤1．

【解析】

（1）由反演点的定义可求解；
（2）先求出点B'坐标，可求OB'的长，由反演点的定义可求OB的长，即可求解；
（3）由题意可得OC'＜2，且OCOC'=4，可得OC＞2，即点C在⊙O的外部，即可求解；
（4）由题意可得OD≥4，且ODOD'=4，可得0＜OD'≤1，即可求解．

（1）∵点A （4，0），
∴OA=4，
∵点A'为点A关于⊙O的反演点，
∴OAOA'=22=4，
∴OA'=1，
∴A'坐标（1，0）；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴于点E，

∵B'恰好为直线与直线x=4的交点，

∴，

∴ 点坐标为(4，)．

∴OA=4，AB'=，

∴ ，

∵，

，

∵点B'为点B关于⊙O的反演点，
∴OBOB'=22=4，
∴OB=，
∵∠OBE=90°-∠BOE=30°，
∴，，

∴点B坐标为(，)；

（3）∵点C为直线上一动点，且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部，

∴，

∵OCOC'=4，

∴OC，

∴点C在⊙O的外部，直线与⊙O的两个交点坐标的横坐标为，

∴ m的取值范围是 m >1或 m <-1．

（4）∵点D为直线上一动点，
∴OD≥4，
∵ODOD'=4，
∴0＜OD'≤1，
∴D'的横坐标t的范围是：0＜t≤1．