Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上的一点，E在线段BD上，且∠AED=45°，连接CE，过A作AG⊥CE交BD于F，过A作AH⊥BD于H，探究FH与BE的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：延长AH交CE于P，根据ASA证得△ABF≌△APC，证得BF=AP，根据AAS证得△AHF≌△EHP，得出FH=PH，根据△AEH是等腰直角三角形，则AH=EH，则BE+EH-FH=AH+HP，从而求得BE=2FH．

解答：答：FH与BE的数量关系为：BE=2FH，
证明：延长AH交CE于P，
∵∠ABF+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，
∴∠ABF=∠PAC，
∵AG⊥CE，AH⊥BD，∠EFG=∠AFH，
∴∠FEG=∠FAH，
∵∠FAH+∠AFH=90°，∠FEG+∠EPH=90°，
∴∠AFH=∠EPH，
∴∠AFB=∠APC，
在△ABF与△APC中，

∠ABF=∠PAC AB=AC ∠AFB=∠APC

，
∴△ABF≌△APC（ASA），
∴BF=AP，
∵AH⊥BD，∠AED=45°，
∴AH=EH，
在△AHF与△EHP中，

∠AFH=∠EPH ∠AHF=∠EHP=90° AH=EH

，
∴△AHF≌△EHP（AAS），
∴FH=PH，
∴BE+EH-FH=AH+HP，
∴BE=2FH．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，延长AH交CE于P，构建两组全等的三角形是本题的关键．