Question

18．综合与探究：如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=-2x于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B关于直线y=-2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，从而可解得b、c的值；
（2）过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2，将x=2代入直线y=-2x的解析式可求得点C的坐标∵点B和B′关于直线y=-2x对称，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5$\sqrt{5}$，然后利用面积法可求得BF=2$\sqrt{5}$．由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4$\sqrt{5}$．由同角的余角相等可证明∠B′BE=∠BCF，从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性质可求得B′E=4，BE=8，故此可求得点B′的坐标为（-3，-4），然后可判断出点B′在抛物线上；
（3）先根据题意画出图形，然后利用待定系数法求得B′C的解析式，设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x+$\frac{5}{4}$），则点D为（x，-$\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$），由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时．四边形PBCD是平行四边形，最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标

解答 解：（1）∵y=$-\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}-b+c=0}\\{-\frac{25}{4}+5b+c=0}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x+$\frac{5}{4}$．
（2）如图，过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．

∵BC⊥x轴，
∴点C的横坐标为5．
∵点C在直线y=-2x上，
∴C（5，-10）．
∵点B和B′关于直线y=-2x对称，
∴B′F=BF．
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$．
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$OC•BF=$\frac{1}{2}$OB•BC，
∴5$\sqrt{5}$×BF=5×10．
∴BF=2$\sqrt{5}$．
∴BB′=4$\sqrt{5}$．
∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，
∴∠B′BE=∠BCF．
又∵∠B′EB=∠OBC=90°，
∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．
∴$\frac{B′E}{OB}=\frac{BE}{BC}=\frac{BB′}{OC}$，即$\frac{B′E}{5}=\frac{BE}{10}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$．
∴B′E=4，BE=8．
∴OE=BE-OB=3．
∴点B′的坐标为（-3，-4）．
当x=-3时，y=-$\frac{1}{4}$×（-3）²+$\frac{5}{4}$=-4．
所以，点B′在该抛物线上．
（3）存在．
理由：如图所示：

设直线B′C的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b+=-10}\\{-3k+b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$
∴直线B′C的解析式为y=$-\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$．
设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x+$\frac{5}{4}$），则点D为（x，-$\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$）．
∵PD∥BC，
∴要使四边形PBCD是平行四边形，只需PD=BC．又点D在点P的下方，
∴$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{5}{4}$-（-$\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}$）=10．．
解得x₁=2，x₂=5（不合题意，舍去）．
当x=2时，$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$．
∴当点P运动到（2，$\frac{9}{4}$）时，四边形PBCD是平行四边形．

点评 本题主要考查的是二次函数综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定，证得Rt△B′EB∽Rt△OBC，从而得到点B′的坐标是解决问题（2）的关键，依据平行四边形的判定定理得到PD=BC，从而列出关于x的方程是解决问题（3）的关键．