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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.

(1)求BE的长;(2)求△ACD外接圆的半径.

【答案】(1)8;(2).

【解析】

(1)根据∠ACB=90°得到AD为圆O的直径,再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形,又AD是△ABC的角平分线,可得∠CAD=EAD,从而得到CD=ED,利用HL证明RtACDRtAED全等,得出AC=AE,再用AB-AE可求出EB的长

(2)由(1)∠AED=90°,得到DEAB垂直,可得三角形BDE为直角三角形,设DE=CD=x,则BD=12-x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为CD的长,在直角三角形ACD中,由ACCD的长,利用勾股定理即可求出AD的长,进而得出外接圆半径.

解:(1)∵∠ACB=90°,且∠ACB为圆O的圆周角(已知),

AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),

∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),

ADABC的角平分线(已知),

∴∠CAD=EAD(角平分线定义),

CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),

RtACDRtAED中,

RtACDRtAED(HL),

AC=AE(全等三角形的对应边相等);

ABC为直角三角形,且AC=5,CB=12,

∴根据勾股定理得:AB==13,

BE=13﹣AC=13﹣5=8;

(2)由(1)得到∠AED=90°,则有∠BED=90°,

CD=DE=x,则DB=BC﹣CD=12﹣x,EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8,

RtBED中,根据勾股定理得:BD2=BE2+ED2

即(12﹣x)2=x2+82

解得:x=

CD=,又AC=5,ACD为直角三角形,

∴根据勾股定理得:AD=

根据ADACD外接圆直径,

ACD外接圆的半径为:

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A. B. 5 C. 4 D.

【答案】B

【解析】由旋转的性质可知,在图乙中,∠BCE1=15°,∠D1CE1=60°,AB=6,CD1=CD=7,

∴∠D1CB=60°-15°=45°,

∵∠ACB=90°

∴CO平分∠ACB

又∵AC=BC

COABCO=AO=BO=AB=3

∴D1O=CD1-CO=7-3=4∠AOD1=90°

RtAOD1中,AD1=.

故选B.

点睛本题解题的关键是由旋转的性质证明∠D1CB=45°,从而得到CD1平分∠ACB,结合等腰三角形的“三线合一”证得∠AOD1=90°,并求得AO=3,OD1=4;这样问题就变得很简单了.

型】单选题
束】
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乙队开挖两天后,每天挖50米;

x=4时,甲、乙两队所挖管道长度相同;

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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(1)填写下面的频率分布表:

分组

频数

频率

19.5~29.5

29.5~39.5

39.5~49.5

49.5~59.5

合计

(2)画出数据的频数分布直方图.

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A. B. 2 C. D.

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