【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.
(1)求BE的长;(2)求△ACD外接圆的半径.
【答案】(1)8;(2).
【解析】
(1)根据∠ACB=90°得到AD为圆O的直径,再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形,又AD是△ABC的角平分线,可得∠CAD=∠EAD,从而得到CD=ED,利用HL证明Rt△ACD与Rt△AED全等,得出AC=AE,再用AB-AE可求出EB的长
(2)由(1)∠AED=90°,得到DE与AB垂直,可得三角形BDE为直角三角形,设DE=CD=x,则BD=12-x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为CD的长,在直角三角形ACD中,由AC及CD的长,利用勾股定理即可求出AD的长,进而得出外接圆半径.
解:(1)∵∠ACB=90°,且∠ACB为圆O的圆周角(已知),
∴AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),
∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),
又AD是△ABC的角平分线(已知),
∴∠CAD=∠EAD(角平分线定义),
∴CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),
在Rt△ACD和Rt△AED中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等);
∵△ABC为直角三角形,且AC=5,CB=12,
∴根据勾股定理得:AB==13,
∴BE=13﹣AC=13﹣5=8;
(2)由(1)得到∠AED=90°,则有∠BED=90°,
设CD=DE=x,则DB=BC﹣CD=12﹣x,EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8,
在Rt△BED中,根据勾股定理得:BD2=BE2+ED2 ,
即(12﹣x)2=x2+82 ,
解得:x=,
∴CD=,又AC=5,△ACD为直角三角形,
∴根据勾股定理得:AD=,
根据AD是△ACD外接圆直径,
∴△ACD外接圆的半径为:.
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【题目】小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则是:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛.
(1)用列表法或画树状图法,求小丽参赛的概率.
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=45°,CD=,BC=,连接AC、BD,若AC⊥AB,则BD的长度为_______________.
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【题目】把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长为( )
A. B. 5 C. 4 D.
【答案】B
【解析】由旋转的性质可知,在图乙中,∠BCE1=15°,∠D1CE1=60°,AB=6,CD1=CD=7,
∴∠D1CB=60°-15°=45°,
又∵∠ACB=90°,
∴CO平分∠ACB,
又∵AC=BC,
∴CO⊥AB,且CO=AO=BO=AB=3,
∴D1O=CD1-CO=7-3=4,∠AOD1=90°,
∴在Rt△AOD1中,AD1=.
故选B.
点睛:本题解题的关键是由旋转的性质证明:∠D1CB=45°,从而得到CD1平分∠ACB,结合等腰三角形的“三线合一”证得∠AOD1=90°,并求得AO=3,OD1=4;这样问题就变得很简单了.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】我市某小区实施供暖改造工程,现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示,则下列说法中,正确的个数有( )个.
①甲队每天挖100米;
②乙队开挖两天后,每天挖50米;
③当x=4时,甲、乙两队所挖管道长度相同;
④甲队比乙队提前2天完成任务.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】己知:如图,E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若M、N分别是BE、DF的中点,连接MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
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【题目】如图,已知正方形OABC的边长为2,顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,点E是BC的中点,F是AB延长线上一点且FB=1.
(1)求经过点O,A,E三点的抛物线解析式;
(2)点P在抛物线上运动,当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2,请求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在一点Q,使△AFQ是等腰直角三角形?若存在直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某学校20名数学教师的年龄(单位:岁)情况如下:29,42,58,37,53,52,49,24,37,46,42,55,40,38,50,26,54,26,44,52.
(1)填写下面的频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
19.5~29.5 | ||
29.5~39.5 | ||
39.5~49.5 | ||
49.5~59.5 | ||
合计 |
(2)画出数据的频数分布直方图.
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【题目】如图,AB是⊙的直径,CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D,过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E.若AB=4,∠E=75°,则CD的长为( )
A. B. 2 C. D.
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