Question

【题目】如图，AB为直径，C、D是上点，连结CB并延长与AD所在直线交于点F，，垂足为点E，连结CE，且．

（1）证明：CE与相切；

（2）若，，求AD的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，对顶角的性质以及垂直的定义可得出∠BCE+∠ABC=90°，再根据∠OCB=∠OBC，得出∠OCB+∠BCE=90°，从而可得出结果；

（2）设的半径为r，则OA=OB=OC=r，则BE=8-2r，OE=8-r，根据=tan∠BFE，可得出EF=2BE=CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理列方程可求出r的值．连接BD，又∠ACF=∠AEF=90°，则点A，C，E，F都在以AF为圆心的圆上，从而得出∠FAE=∠FCE，则tan∠BAD=，结合勾股定理可求出AD的长．

（1）证明：连接OC，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=∠EBF，

又EF⊥AB，

∴∠EFB+∠EBF=90°，

∴∠OCB+∠EFB=90°，

∵CE=EF，∴∠ECB=∠EFB，

∴∠OCB+∠ECB=90°，

∴∠OCE=90°，

∴CE与相切；

（2）解：连接BD，

设的半径为r，则OA=OB=OC=r，

∴BE=AE-AB=8-2r，OE=AE-OA=8-r，

又=tan∠BFE，

∴在Rt△BEF中，，

∴EF=2BE=16-4r=CE，

在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2，

∴r2+(16-4r)2=(8-r)2，

解得r=3或r=4，

当r=4时，16-4r=0，不符合题意，

∴r=3，

∴AB=6．

∵AB是的直径，

∴∠ACF=∠AEF=90°，则点A，C，E，F都在以AF为直径的圆上，

∴∠FAE=∠FCE，

又，∴tan∠FAE=，即tan∠DAB=，

∵AB是的直径，∴∠ADB=90°，

∴，

在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，

∴AD2+=36，

∴AD=．