Question

12．如图，抛物线y=ax²+$\frac{7}{2}$x+c与直线y=kx+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，$\frac{7}{2}$）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数和抛物线的解析式；
（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=$\frac{1}{2}$x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=kx+2经过点C，D，
∴$C（0，2），\frac{7}{2}=3k+2$，
∴$k=\frac{1}{2}$，
∴直线CD的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$，
∵抛物线$y=a{x^2}+\frac{7}{2}x+c$经过点C，D，
∴$\left\{\begin{array}{l}2=c\\ \frac{7}{2}=9a+\frac{21}{2}+c\end{array}\right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;∴\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为$y=-{x^2}+\frac{7}{2}x+2$；
（2）如图1，
∵点P的横坐标为m且在抛物线上，
∴$P（m，-{m^2}+\frac{7}{2}m+2），F（m，\frac{1}{2}m+2）$，
∵PF∥CO，
∴当PF=CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜m＜3时，$PF=-{m^2}+\frac{7}{2}m+2-（\frac{1}{2}m+2）=-{m^2}+3m$，
∴-m²+3m=2，解得：m₁=1，m₂=2，
即当m=1或2时，四边形OCPF是平行四边形，
②当m≥3时，$PF=（\frac{1}{2}m+2）-（-{m^2}+\frac{7}{2}m+2）={m^2}-3m$m²-3m=2，
解得：${m_1}=\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}，{m_2}=\frac{{3-\sqrt{17}}}{2}$（舍去），
即当${m_1}=\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}$时，四边形OCFP是平行四边形；
（3）如图2，当点P在CD上方且∠PCF=45°时，
作PN⊥CD，CM⊥PE，则△PMF∽△CNF，
∴$\frac{PM}{MF}=\frac{CN}{FN}=\frac{m}{{\frac{1}{2}m}}=2$，
∴PM=CM=2CF，
∴$PF=\sqrt{5}FM=\sqrt{5}CF=\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{2}CN=\frac{5}{2}CN=\frac{5}{2}m$，
又∵PF=-m²+3m，
∴$-{m^2}+3m=\frac{5}{2}m$，
解得：${m_1}=\frac{1}{2}$，m₂=0（舍去）
∴$P（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}）$．
同理可以求得：另外一点为$P（\frac{23}{6}，\frac{13}{18}）$．
∴符合条件的点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（$\frac{23}{6}$，$\frac{13}{18}$）．

点评 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．