【题目】学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距个单位长度的直线跑道上,机器人甲从端点出发,匀速往返于端点、之间,机器人乙同时从端点出发,以大于甲的速度匀速往返于端点、之间.他们到达端点后立即转身折返,用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况,这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种.
(观察)
①观察图,若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为个单位长度,则他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度;
②若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为个单位长度,则他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度;
(发现)
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为个单位长度,他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为个单位长度.兴趣小组成员发现了与的函数关系,并画出了部分函数图象(线段,不包括点,如图所示).
①= _____;
②分别求出各部分图象对应的函数表达式,并在图中补全函数图象;
(拓展)
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为个单位长度,他们第三次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离为个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度,则他们第一次迎面相遇时,相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _____.(直接写出结果)
【答案】【观察】:①;②;【发现】:①;②见解析;【拓展】:0<x≤12或48≤x≤72.
【解析】
[观察]①设此时相遇点距点A为m个单位,根据题意列方程即可得到结论;
②此时相遇点距点A为m个单位,根据题意列方程即可得到结论;
[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B时,设机器人甲的速度为v,则机器人乙的速度为,根据题意列方程即可得到结论;
②设机器人甲的速度为v,则机器人乙的速度为,根据题意列函数解析式即可得到结论;
[拓展]由题意列不等式即可得到结论.
[观察]①∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度,
∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度,
设机器人甲的速度为,
∴机器人乙的速度为,
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为,
机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为,而,
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时,
机器人乙从第一次相遇地点到点,返回到点,再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇,
设此时相遇点距点为个单位,
根据题意得,,
,
故答案为:;
②∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度,
∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度,
设机器人甲的速度为,
∴机器人乙的速度为,
∴机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为,
机器人甲从相遇点到点所用时间为,而,
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时,机器人从第一次相遇点到点,再到点,返回时和机器人乙第二次迎面相遇,
设此时相遇点距点为个单位,
根据题意得,,
,
故答案为:;
[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点时,
设机器人甲的速度为,则机器人乙的速度为,
根据题意知,,
,
经检验:是分式方程的根,
即:,
故答案为:;
②当时,点在线段上,
∴线段的表达式为,
当时,即当,此时,第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时,
设机器人甲的速度为,则机器人乙的速度为,
根据题意知,,
,
即:,
补全图形如图2所示,
[拓展]①如图,
由题意知,,
∴y=5x,
∵0<y≤60,
∴0<x≤12;
②如图,
∴,
∴y=-5x+300,
∵0≤y≤60,
∴48≤x≤60,
③如图,
由题意得,,
∴y=5x-300,
∵0≤y≤60,
∴60≤x≤72,
∵0<x<75,
∴48≤x<72,
综上所述,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0<x≤12或48≤x≤72,
故答案为0<x≤12或48≤x≤72.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,D是AO延长线上一点,联结BD并延长交⊙O于点E,联结CD并延长交⊙O于点F.
(1)求证:BD=CD:
(2)如果AB2=AO·AD,求证:四边形ABDC是菱形.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】将如图所示的牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上.
(1)从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是 ;
(2)从中随机抽出二张牌,两张牌牌面数字的和是5的概率是 ;
(3)先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率.
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图,菱形的顶点、在轴上(在的左侧),顶点、在轴上方,对角线的长是,点为的中点,点在菱形的边上运动.当点到所在直线的距离取得最大值时,点恰好落在的中点处,则菱形的边长等于( )
A.B.C.D.
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【题目】电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡.在第二届数字中国建设峰会召开之际,某校举行了第二届“掌握新技术,走进数时代”信息技术应用大赛,将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后,绘制成如下统计图表(不完整):
“掌握新技术,走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别 | 成绩x(分) | 人数 |
A | 60≤x<70 | 10 |
B | 70≤x<80 | m |
C | 80≤x<90 | 16 |
D | 90≤x≤100 | 4 |
请观察上面的图表,解答下列问题:
(1)统计表中m= ;统计图中n= ,D组的圆心角是 度.
(2)D组的4名学生中,有2名男生和2名女生.从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动,请你画出树状图或用列表法求:
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率;
②至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率.
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【题目】为了增强学生的安全意识,某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试.阅卷后,学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计,发现考试成绩(分)的最低分为51分,最高分为满分100分,并绘制了如下尚不完整的统计图表.请根据图表提供的信息,解答下列问题:
分数段(分) | 频数(人) | 频率 |
0.1 | ||
18 | 0.18 | |
35 | 0.35 | |
12 | 0.12 | |
合计 | 100 | 1 |
(1)填空:______,______,______;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)该校对考试成绩为的学生进行奖励,按成绩从高分到低分设一、二、三等奖,并且一、二、三等奖的人数比例为1:3:6,请你估算全校获得二等奖的学生人数.
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【题目】对x,y定义一种新运算T,规定T(x,y)=(其中a,b是非零常数,且x+y≠0),这里等式右边是通常的四则运算.
如:T(3,1)=,T(m,﹣2)=.
(1)填空:T(4,﹣1)= (用含a,b的代数式表示);
(2)若T(﹣2,0)=﹣2且T(5,﹣1)=6.
①求a与b的值;
②若T(3m﹣10,m)=T(m,3m﹣10),求m的值.
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【题目】如图,在□ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在点B′,C′处,线段EC′与线段AF交于点G,连接DG,B′G。
求证:(1)∠1=∠2 (2)DG=B′G
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