Question

12．已知：点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．
（1）当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；
（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过C作CM⊥y轴于M，通过判定△BCM≌△ABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，进而得到OM=3，据此可得C（-1，-3）；
（2）过C作CM⊥y轴于M，根据△BCM≌△ABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME（AAS），可得BE=EM，进而得到BE=$\frac{1}{2}$BM=2．

解答 解：（1）如图1，过C作CM⊥y轴于M．
∵CM⊥y轴，
∴∠BMC=∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABO=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM与△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠AOB}\\{∠CBM=∠BAO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM=BO=1，BM=AO=4，
∴OM=3，
∴C（-1，-3）；

（2）在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2，
理由：如图2，过C作CM⊥y轴于M，
由（1）可知：△BCM≌△ABO，
∴CM=BO，BM=OA=4．
∵△BDO是等腰直角三角形，
∴BO=BD，∠DBO=90°，
∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°，
在△DBE与△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠CME}\\{∠DEB=∠CEM}\\{BD=MC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CME（AAS），
∴BE=EM，
∴BE=$\frac{1}{2}$BM=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△DBE≌△CME是解第（2）题的关键．