Question

【题目】如图，已知抛物线y1=ax+bx+c的顶点坐标为M（2,1），且经过点B，抛物线对称轴左侧与轴交于点A，与轴交于点C.

（1）求抛物线解析式y1和直线BC的解析式y2；

（2）连接AB、AC，求△ABC的面积.

（3）根据图象直接写出y1＜y2时自变量的取值范围.

（4）若点Q是抛物线上一点，且QA⊥MA，求点Q的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y1=x2+4x3，；（2）；（3）x<0或x>；（4）Q（4，-3）.

【解析】

（1）设抛物线顶点式解析式y1=a（x-2）2+1，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可求出抛物线解析式；令x=0求出点C的坐标，再设直线BC的解析式y2=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点A的坐标，设直线BC与x轴的交点为D，利用直线BC的解析式求出点D的坐标，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，列式进行计算即可得解；
（3）根据图形，找出直线BC在抛物线上方部分的x的取值范围即可；

（4）连接MD，AM，过点A作AQ⊥AM，易得∠MAD=45°，即∠QAD=45°，从而得出Q点横纵坐标之间的关系，代入抛物线解析式求出Q点的坐标．

(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,1)，

∴y1=a(x2)2+1，

∵抛物线经过点，

∴，

解得a=1，

∴y1=(x2)2+1=x2+4x3，

当x=0，y=3，

∴C(0,3)，

设直线BC解析式为y2=kx+b(k≠0)，

则有，

解得

所以,直线BC的解析式为；

(2)对于y1=x2+4x3,当y=0时,x2+4x3=0，

即x24x+3=0，

解得x1=1,x2=3，

∴点A的坐标为(1,0)，

设直线BC与x轴相交于D，

对于,当y=0时, ，

解得x=2，

∴点D的坐标为(2,0)，

∴AD=21=1，

则S△ABC=S△ABD+S△ACD，

=

=

=.

(3)由图得,当x<0或x>时,y1<y2.

（4）连接MD，AM，过点A作AQ⊥AM.

∵M（2,1），D（2,0）

∴MD ⊥ x轴

∵A（1,0）

∴AD=MD，即△ADM为等腰直角三角形，

∴∠MAD=45°，即∠QAD=45°，

∴设Q（m，1-m）

则,解得m1=1（舍去），m2=4，

∴Q（4，-3）.