Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝4 cm，点E从点C出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．

(1)若0＜t ＜4，试问：t为何值时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；

(2)若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G．

①试说明：当0＜t ＜4时，CE、CF、CG在运动过程中，满足CE＋CF＝CG.

②试探究：当t≥4时，CE、CF、CG的数量关系是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)t=2或0.4秒；(2)①证明见解析；②CE﹣CF=CG．

【解析】

（1）0＜t＜4时，E和F分别在边AC和BC上，分成△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）分成0＜t＜4和t≥4两种情况进行讨论，①当0＜t＜4时，证明△EGH≌△FGC，△CGH是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，②当t≥4时，思路相同

解：(1)由题意，EC=3t，BF=t，FC=4﹣t

∵∠ECF=∠ACB，

∴以E、C、F为顶点的三角形与△ACB相似有两种情况：

当时，△EFC∽△ABC

∴，解得t=2，

当时，△FEC∽△ABC

∴，解得t=0.4．

∴当t=2或0.4秒时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；

(2)①当0＜t＜4时，

过点G作GH⊥CG交AC于H，如图1：

∵∠ACB=90°，

∴EF为△ECF的外接圆的直径，

∴∠EGF=90°，

∴∠EGH=∠FGC，

∵CG平分∠ACB，

∴∠ECG=∠FCG=45°

∴弧EG=弧FG

∴EG=FG

∵∠ECG=45°，

∴∠EHG=45°，

∴∠EHG=∠FCG，

在△EGH和△FGC中，

，

∴△EGH≌△FGC．

∴EH=FC

∵∠EHG=∠ECG=45°，

∴CH=CG

∵CH=CE+EH，

∴CE+CF=CG；

②当t≥4时，

过点G作GM⊥CG交AC于M，如图2：

同理可得△EGM≌△FGC．

∴EM=FC

∵∠EMG=∠MCG=45°，

∴CM=CG

∵CM=CE﹣EM，

∴CE﹣CF=CG．