【题目】在平面直角坐标系中,对于半径为的和点,给出如下定义:
若,则称为的“近外点”.
(1)当的半径为2时,点,,,中,的“近外点”是__________;
(2)若点是的“近外点”,求的半径的取值范围;
(3)当的半径为2时,直线与轴交于点,与轴交于点,若线段上存在的“近外点”,直接写出的取值范围.
【答案】(1)B,C; (2);(3)或.
【解析】
(1)先求出r=3,再分别求出OA,OB,OC,OD,再判断即可求解;
(2)先求出OE,用圆的“近外点”满足的条件建立不等式组求解即可;
(3)先判断出直线MN中OM>ON,进而得出点M和点G是圆O的“近外点”的分界点,再分两种情况讨论计算即可.
解:(1)∵⊙O的半径为2,
∴r=3,
∵A(4,0),
∴OA=4>3,
∴点A不是⊙O的“近外点”,
B (-,0),
∴OB=,而2<<3,
∴B是⊙O的“近外点”,
C(0,3),
∴OC=3,
∴点C是⊙O的“近外点”,
D (1,-1),
∴OD= = <2,
∴点D不是⊙O的“近外点”,
故答案为:B,C;
(2)∵E(3,4),
∴OE= =5,
∵点E是⊙O的“近外点”,
∴,
∴ ≤r≤5;
(3)如图,
∵直线MN的解析式为,
∴OM>ON,
①点N在y轴正半轴时,
当点M是⊙O的“近外点”,此时,点M(-2,0),
将M(-2,0)代入直线MN的解析式中,解得,b=,
即:b的最小值为,
过点O作OG⊥M'N'于G,
当点G是⊙O的“近外点”时,此时OG=3,
在Rt△ON'G中,∠ON'G=60°,
∴ON'==2,
b的最大值为2,
∴≤b≤2,
②当点N在y轴负半轴时,同①的方法得出,-2≤b≤-,
即:≤b≤2或-2≤b≤-.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12 cm,BC=4 cm,点E从点C出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动.设运动时间为t秒.
(1)若0<t <4,试问:t为何值时,以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似;
(2)若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G.
①试说明:当0<t <4时,CE、CF、CG在运动过程中,满足CE+CF=CG.
②试探究:当t≥4时,CE、CF、CG的数量关系是否发生变化,并说明理由.
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【题目】正方形ABCD的边长为2,将射线AB绕点A顺时针旋转α,所得射线与线段BD交于点M,作CE⊥AM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.
(1)如图,当0°<α<45°时:
①依题意补全图;
②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系:___________;
(2)当45°<α<90°时,探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明;
(3)当0°<α<90°时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF长的最大值.
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【题目】下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程.
已知: .
求作: 边上的高
作法:如图,
(1)分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于, 两点;
(2)作直线,交于点;
(3)以为圆心, 为半径⊙O,与CB的延长线交于点D,连接AD,线段AD即为所作的高.
请回答;该尺规作图的依据是___________________________________________________
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【题目】在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球,其中红球2个,蓝球1个,若从中任意摸出一个球,摸到的球是红球的概率为.
(1)求袋中黄球的个数;
(2)第一次任意摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,利用树状图或刘表格求两次摸到球的颜色是红色与黄色的概率.
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【题目】如图,小明在教学楼的窗户A处,测量楼前的一棵树CD的高.现测得树顶C处的俯角为45°,树底D处的俯角为60°,楼底到大树的距离BD为10米.请你帮助小明计算树的高度(精确到0.1米).
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【题目】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围.
(2)是否存在实数,使方程的两个实数根互为相反数?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知直线y=kx+m(k<0)与抛物线y=x2+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q.
(1)若点P(2,﹣c),Q的横坐标为﹣1.求点Q的坐标;
(2)过点Q作x轴的平行线与抛物线y=x2+bx+c的对称轴相交于点E,直线PQ与y轴交于点M,若PE=2EQ,c=(﹣≤b<﹣2),求点Q的纵坐标;
(3)在(2)的条件下,求△OMQ的面积S的最大值.
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