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【题目】如图,在ABC中,BC=30,高AD=18,作矩形PQRS,使得PS分别落在ABAC边上,QR落在BC边上.

(1)求证:APS ∽△ABC

(2)如果矩形PQRS是正方形,求它的边长;

(3)如果APPB=1∶2,求矩形PQRS的面积.

【答案】(1)详见解析;(2)正方形PQRS的边长为;(3)S矩形PQRS=120.

【解析】

(1)由四边形PQRS是矩形,可得PSQR,即可得:APS∽△ABC;
(2)由矩形PQRS是正方形,可设PS=x,然后利用相似三角形的对应高的比等于相似比,即可得方程解此方程即可求得答案;
(3)由相似三角形对应边成比例,即可求得PQPS的长,继而可求得矩形PQRS的面积.

(1) 证明:∵四边形PQRS是矩形,

PSQR,即PSBC

∴△APS ∽△ABC.

(2)解:∵四边形PQRS是正方形,

PSPQSRPSQR.

ADABC的高,即ADBC

AMPS,即AMAPS的高.

∵△APS ∽△ABC

PSx.

BC30AD18

AM=18x

解得

∴正方形PQRS的边长为.

(3)解:∵四边形PQRS是矩形,∴PQQR.

AD是△ABC的高,∴ADBC,∴PQAD

∴△PBQ∽△ABD

.

∵△APS ∽△ABC

S矩形PQRS

练习册系列答案
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