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【题目】已知抛物线yax22axcy轴交于C点,与x轴交于AB两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且OC=3OA

1)求抛物线的函数表达式;

2)直接写出直线BC的函数表达式;

3)如图1Dy轴的负半轴上的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形ODEF△OBC重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0t≤2).

求:①st之间的函数关系式;

在运动过程中,s是否存在最大值?如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请说明理由.

4)如图2,点P1k)在直线BC上,点Mx轴上,点N在抛物线上,是否存在以AMNP为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x22x3

2)直线BC的函数表达式为y=x3

3

t =2秒时,S有最大值,最大值为

4)存在符合条件的点M,且坐标为M 1(-),M2), M3),M4

【解析】分析:(1)先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标,然后利用待定系数法可求出抛物线的解析式; (2)由(1)的抛物线解析式可得点B的坐标,结合点C的坐标,利用待定系数法求解即可; (3)①首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状:当点D在△OBC内部时,两者的重合部分是矩形;当点D在△OBC外部时,两者的重合部分是五边形,其面积可由正方形的面积减去△ 的面积(G、H分别为 、 和线段BC的交点).在判断t的取值范围时,要注意一个“关键点”即点D位于线段BC上时; ②根据①的函数性质即可得到答案. (4)若存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形,应分AM PN或AN PM两种情况.由于AM在x轴上,结合平行四边形的特点可知:无论哪种情况,点N到x轴的距离都等于点P到x轴的距离,根据这个特点可确定点M、N的坐标.

本题解析:(1)∵ A(-1,0), ,C(0,-3)

∵抛物线经过A(-1,0),C(0,-3)

,∴

∴y=x2-2x-3

(2)由(1)的抛物线解析式可知:点B(3,0).

设直线BC的解析式为y=kx+b.

将B(3,0),C(0,-3)代入得,解得

∴直线BC的函数表达式为y=x-3.

(3)当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时,设D点的坐标为(m,-2),

根据题意得: -2=m-3,∴m=1

①当0<t≤1时,S1=2t

当1<t≤2时

S2= =2t-

=-

②当t =2秒时,S有最大值,最大值为

(4)由(2)知:点P(1,-2),假设存在符合条件的点M.

①当AM∥PN,AM=PN时,点N、P的纵坐标相同,

即点N的纵坐标为-2,代入抛物线的解析式中得x-2x-3=-2,

解得 x=1±

∴AM=NP=

∴M 1(-,0) M2,0),

②当AN∥PM,AN=PM时,平行四边形的对角线PN、AM互相平分.

设M(m,0),则N(m-2,2).

将点N的坐标代入抛物线的解析式中,得(m-2)-2(m-2)-3=2,

解得 m=3±

∴M3(3-,0) M4(3+,0 ).

综上,存在符合条件的M点,且坐标为:

M 1(-,0) M2,0)

M3(3-,0) M4(3+,0 )

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