【题目】已知抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且OC=3OA.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直接写出直线BC的函数表达式;
(3)如图1,D为y轴的负半轴上的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0<t≤2).
求:①s与t之间的函数关系式;
②在运动过程中,s是否存在最大值?如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请说明理由.
(4)如图2,点P(1,k)在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-2x-3 ;
(2)直线BC的函数表达式为y=x-3;
(3)①
②当t =2秒时,S有最大值,最大值为.
(4)存在符合条件的点M,且坐标为M 1(-,),M2(,), M3(,),M4(,)
【解析】分析:(1)先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标,然后利用待定系数法可求出抛物线的解析式; (2)由(1)的抛物线解析式可得点B的坐标,结合点C的坐标,利用待定系数法求解即可; (3)①首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状:当点D在△OBC内部时,两者的重合部分是矩形;当点D在△OBC外部时,两者的重合部分是五边形,其面积可由正方形的面积减去△ 的面积(G、H分别为 、 和线段BC的交点).在判断t的取值范围时,要注意一个“关键点”即点D位于线段BC上时; ②根据①的函数性质即可得到答案. (4)若存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形,应分AM PN或AN PM两种情况.由于AM在x轴上,结合平行四边形的特点可知:无论哪种情况,点N到x轴的距离都等于点P到x轴的距离,根据这个特点可确定点M、N的坐标.
本题解析:(1)∵ A(-1,0), ,C(0,-3)
∵抛物线经过A(-1,0),C(0,-3)
∴,∴,
∴y=x2-2x-3
(2)由(1)的抛物线解析式可知:点B(3,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b.
将B(3,0),C(0,-3)代入得,解得 ,
∴直线BC的函数表达式为y=x-3.
(3)当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时,设D点的坐标为(m,-2),
根据题意得: -2=m-3,∴m=1
①当0<t≤1时,S1=2t
当1<t≤2时
S2= =2t-
=-,
②当t =2秒时,S有最大值,最大值为
(4)由(2)知:点P(1,-2),假设存在符合条件的点M.
①当AM∥PN,AM=PN时,点N、P的纵坐标相同,
即点N的纵坐标为-2,代入抛物线的解析式中得x-2x-3=-2,
解得 x=1± ,
∴AM=NP=,
∴M 1(-,0) M2(,0),
②当AN∥PM,AN=PM时,平行四边形的对角线PN、AM互相平分.
设M(m,0),则N(m-2,2).
将点N的坐标代入抛物线的解析式中,得(m-2)-2(m-2)-3=2,
解得 m=3±,
∴M3(3-,0) M4(3+,0 ).
综上,存在符合条件的M点,且坐标为:
M 1(-,0) M2(,0)
M3(3-,0) M4(3+,0 )
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【题目】如图①,在△ABC中,∠B=∠C,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED,连结DE.
(1)若∠BAC=100°,∠DAE=40°,则∠CDE= ,此时= ;
(2)若点D在BC边上(点B、C除外)运动,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系并说明理由;
(3)若点D在线段BC的延长线上,点E在线段AC的延长线上(如图②),其余条件不变,请直接写出∠BAD与∠CDE的数量关系: ;
(4)若点D在线段CB的延长线上(如图③)、点E在直线AC上,∠BAD=26°,其余条件不变,则∠CDE= °(友情提醒:可利用图③画图分析)
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【题目】已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中, 每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;
(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且位似比为2︰1,并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.
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【题目】网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查,得到了如图所示的两个不完全统计图.
请根据图中的信息,解决下列问题:
()求条形统计图中的值.
()求扇形统计图中岁部分所占的百分比;
()据报道,目前我国岁网瘾人数约为万,请估计其中岁的人数.
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【题目】如图,AB⊥AC,CD、BE分别是△ABC的角平分线,AG∥BC,AG⊥BG,下列结论:①∠BAG=2∠ABF;②BA平分∠CBG;③∠ABG=∠ACB;④∠CFB=135°,其中正确的结论有( )个
A.1B.2C.3D.4
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【题目】城市规划期间,欲拆除一电线杆AB,已知距电线杆AB水平距离14 m的D处有一大坝,背水坡CD的坡度i=1∶2,坝高CF为2 m,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°,D、E之间是宽为2 m的人行道.
(1)求BF的长;
(2)在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?请说明理由.(在地面上,以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域,≈1.732,≈1.414)
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【题目】将一条长为40cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于52cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于48cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,点、在数轴上表示的数分别是,,将线段分成等分,离点最近的分点为;再将线段分成等份,其分点由左向右依次为;继续将线段分成等份,其分点由左向右依次为;对应的数用科学记数法表示为:________;对应的数用科学记数法表示为:______.
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