Question

17．若$\frac{a+b}{c}$=$\frac{c+b}{a}$=$\frac{a+c}{b}$，求$\frac{（a+b）（c+b）（a+c）}{abc}$的值．

Answer 1

分析 首先设$\frac{a+b}{c}$=$\frac{c+b}{a}$=$\frac{a+c}{b}$=K得出（b+c）+（c+a）+（a+b）=K（a+b+c），进而求出K的值，再分别代入原式求出答案．

解答 解：设$\frac{a+b}{c}$=$\frac{c+b}{a}$=$\frac{a+c}{b}$=K，
则b+c=aK（1），
  c+a=bK（2），
  a+b=cK（3），
 则（1）+（2）+（3），
（b+c）+（c+a）+（a+b）=K（a+b+c），
2（a+b+c）=K（a+b+c），
K（a+b+c）-2（a+b+c）=0，
（K-2）（a+b+c）=0，
解得：K=2 或a+b+c=0，
当K=2时，$\frac{（a+b）（c+b）（a+c）}{abc}$=$\frac{abc{K}^{3}}{abc}$=8，
当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
$\frac{（a+b）（c+b）（a+c）}{abc}$=-1
故原式有两个解：8或-1．

点评 此题主要考查了分式的化简求值，根据题意得出$\frac{a+b}{c}$=$\frac{c+b}{a}$=$\frac{a+c}{b}$的值是解题关键．