Question

12．将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图象与x，y轴分别交于点A，B，那么△ABO为此一次函数的坐标三角形（也称直线AB的坐标三角形）．
（1）如果点C在x轴上，将△ABC沿着直线AB翻折，使点C落在点D（0，18）上，求直线BC的坐标三角形的面积；
（2）如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k的值；
（3）在（1）条件下，如果点E的坐标是（0，8），直线AB上有一点P，使得△PDE周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图象上，求这个反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求得点B的坐标，从而得到OB=7，由翻折的性质可知BC=BD=25，依据勾股定理可求得OC的长，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）设OA=x，则AB=14-x，在Rt△AOB中，由勾股定理可求得OA的长，从而得到点A的坐标，由A、B的坐标可求得直线AB的解析式；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可知当当点C、P、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，然后再求得直线CE的解析式，将AB的解析式与CE的解析式联立可求得点P的坐标，从而可求得反比例函数的解析式．

解答 解：（1）∵将x=0代入y=kx-7得y=-7，
∴B（0，-7）．
∴OB=7．
又∵D（0，18），
∴OD=18．
∴BD=25．
由翻折的性质可知；BC=BD．
∵BC=25，OB=7，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=24．
∴直线BC的坐标三角形的面积=$\frac{1}{2}$OC•OB=$\frac{1}{2}$×24×7=84．
（2）设OA=x，则AB=14-x．
∵在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB²=OA²+OB²，即（14-x）²=x²+7²，解得：x=5.25，
∴A（-$\frac{21}{4}$，0）．
∵将点A的坐标代入y=kx-7得：-$\frac{21}{4}$k-7=0，解得：k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-7．
（3）如图：连接CE交AB于点P．

∵点C与点D关于AB对称，
∴PC=PD．
∴PD+PE=PC+PE．
∴当点C、P、E在一条直线上时，PC+PE有最小值．
又∵DE的长度不变，
∴当点C、P、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
设直线CE的解析式为y=kx+b．
∵将C（-24，0），E（0，8）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-24k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{3}$，b=8，
∴直线EC的解析式为y=$\frac{1}{3}x$+8．
∵将y=$\frac{1}{3}x$+8与y=-$\frac{4}{3}$x-7联立，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴P（-9，5）．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$．
∵k=xy=-9×5=-45，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{45}{x}$．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，明确当点C、P、E在一条直线上时，△DPE的周长最小是解题的关键．