Question

【题目】如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．

（1）AD与BC平行吗？请说明理由；

（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？

（3）若AF平分∠BAD，试说明：

①∠BAD＝2∠F；②∠E+∠F＝90°

注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．

解：（1）AD∥BC．理由如下：

∵∠ADE+∠ADF＝180°，（平角的定义）

∠ADE+∠BCF＝180°，（已知）

∴∠ADF＝∠________，（________）

∴AD∥BC

（2）AB与EF的位置关系是：________．

∵BE平分∠ABC，（已知）

∴∠ABE＝∠ABC．（角平分线的定义）

又∵∠ABC＝2∠E，（已知），

即∠E＝∠ABC，

∴∠E＝∠________．（________）

∴________∥________．（________）

Answer 1

【答案】（1）BCF，同角的补角相等；（2）AB∥EF，ABE，等量代换，AB，EF，内错角相等，两直线平行；（3）①证明见解析；②证明见解析

【解析】

（1）欲证明AD∥BC，只要证明∠ADF=∠BCF即可；
（2）结论：AB∥EF，只要证明∠E=∠ABE 即可；
（3）①根据平行线的性质以及角平分线的定义即可证明；
②只要证明∠OAB+∠OBA=90°即可解决问题；

（1）解：结论：AD∥BC．理由如下：

∵∠ADE+∠ADF＝180°，（平角的定义）

∠ADE+∠BCF＝180°，（已知）

∴∠ADF＝∠BCF，（同角的补角相等 ）

∴AD∥BC

（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF，

∵BE平分∠ABC，（已知）

∴∠ABE＝∠ABC．（角平分线的定义）

又∵∠ABC＝2∠E，（已知），

即∠E＝∠ABC，

∴∠E＝∠ABE．（等量代换）

∴AB∥EF．（内错角相等，两直线平行 ）

故答案为BCF，同角的补角相等，AB∥EF，ABE，等量代换，AB，EF，内错角相等，两直线平行．

（3）证明：①∵AB∥EF，

∴∠BAF＝∠F，

∵∠BAD＝2∠BAF，

∴∠BAD＝2∠F．

②∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBA＝180°，

∵∠OAB＝DAB，∠OBA＝∠CBA，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，

∴∠EOF＝∠AOB＝90°，

∴∠E+∠F＝90°．