Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在斜边AB上，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，连接OD，OE．
（1）求证：四边形CDOE是正方形；
（2）当AC=4，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的判定

专题：

分析：（1）先证明四边形ODCE为矩形，再根据OD=OE，可得出四边形CDOE为正方形；
（2）先设圆O的半径为r，再证明△OAD∽△BOE，即可得出圆O的半径．

解答：解：（1）∵AC、BC分别为半圆O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形CDOE为正方形；

（2）设⊙O的半径为r，
∵AC=4，BC=6，
∴AD=4-r，BE=6-r，
∵AC∥OE，
∴∠A=∠BOE，
∴△OAD∽△BOE，
∴

AD

OE

=

OD

BE

，
∴

4-r

r

=

r

6-r

，
解得r=2.4，
所以⊙O的半径为2.4．

点评：本题考查了切线的性质以及正方形的判定，切线垂直于过切点的半径，三个角为直角且有一组邻边相等的四边形为正方形．