【题目】如图1,圆内接四边形ABCD,AD=BC,AB是⊙O的直径.
(1)求证:AB∥CD;
(2)如图2,连接OD,作∠CBE=2∠ABD,BE交DC的延长线于点E,若AB=6,AD=2,求CE的长;
(3)如图3,延长OB使得BH=OB,DF是⊙O的直径,连接FH,若BD=FH,求证:FH是⊙O的切线.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】
(1)由弧AD=弧BC,根据同弧让所对的圆周角相等得∠ABD=∠BDC得AB∥CD;
(2)由∠BCE=∠CBA=∠DAO得∠CBE=2∠ABD且∠AOD=2∠ABD;从而得到△AOD∽△CBE,根据相似比得出结果;
(3)要证FH是⊙O的切线,只须证出DF⊥FH即可,作出辅助线是本题的关键.
解:(1)证明:圆内接四边形ABCD,AD=BC,
∴弧AD=弧BC,∴∠ABD=∠BDC
∴AB∥CD
(2)由(1)知,∠BCE=∠CBA=∠DAO,
∵∠CBE=2∠ABD且∠AOD=2∠ABD
∴△AOD∽△CBE
∴
∴
(3)作FM⊥AH于M,
∵∠ADB=∠AFB=∠DAF=90°
∴四边形AFBD是矩形,
∴FH=BD=AF
∴AM=HM,OM=BM
∴OF=BF=OD
∴∠FOH=60°,∠OHF=30°
∠DFH=90°
又∵DF是⊙O的直径,
∴FH是⊙O的切线.
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【题目】如图,一次函数y =﹣4x﹣4的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=的图像经过A、C两点,且与x轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点E,使点E到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出此点E的坐标;
(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N.问在x轴上是否存在点P,使得△PMN是等腰直角三角形?如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,∠ABC的角平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若DE=AC,求∠ACB的大小.
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【题目】本学期初,某校为迎接中华人民共和国建国七十周年,开展了以“不忘初心,缅怀革命先烈,奋斗新时代”为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”(下面简称:“读书量”)进行了随机抽样调查,并对所有随机抽取学生的“读书量”(单位:本)进行了统计,如下图所示:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全上面两幅统计图,填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 ;
(2)求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数;
(3)已知该校七年级有1200名学生,请你估计该校七年级学生中,四月份“读书量”为5本的学生人数。
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【题目】如图,在线段BC上有两点E,F,在线段CB的异侧有两点A,D,满足AB=CD,AE=DF,CE=BF,连接AF;
(1)连接DE,求证:四边形AEDF是平行四边形;
(2)若∠B=40°,∠DFC=30°,当AF平分∠BAE时,求∠BAF.
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【题目】如图,直线与轴交于点(),与轴交于点,抛物线()经过,两点,为线段上一点,过点作轴交抛物线于点.
(1)当时,
①求抛物线的关系式;
②设点的横坐标为,用含的代数式表示的长,并求当为何值时,?
(2)若长的最大值为16,试讨论关于的一元二次方程的解的个数与的取值范围的关系.
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【题目】为了了解某校学生的课外阅读情况,随机抽查了10学生周阅读用时数,结果如下表:
周阅读用时数(小时) | 4 | 5 | 8 | 12 |
学生人数(人) | 2 | 1 | 3 | 4 |
则关于这10名学生周阅读所用时间,下列说法正确的是( )
A.中位数是6.5B.众数是12C.平均数是3.9D.方差是6
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【题目】已知二次函数y=x2-mx+n图像的顶点为C(1,-4).
(1)求二次函数的表达式;
(2)如点A是二次函数在第四象限内图象上的一动点,过点A作轴,P为垂足,求的最大值;
(3)已知点B(-1,-4),问在的对称轴上是否存在点Q,使线段QB绕点Q顺时针旋转得到线段,且点恰好落在二次函数图像上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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