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【题目】如图1,圆内接四边形ABCDADBCAB是⊙O的直径.

1)求证:ABCD

2)如图2,连接OD,作∠CBE2ABDBEDC的延长线于点E,若AB6AD2,求CE的长;

3)如图3,延长OB使得BHOBDF是⊙O的直径,连接FH,若BDFH,求证:FH是⊙O的切线.

【答案】1)见解析;(2;(3)见解析.

【解析】

1)由弧AD=弧BC,根据同弧让所对的圆周角相等得∠ABD=∠BDCABCD

2)由∠BCE=∠CBA=∠DAO得∠CBE2ABD且∠AOD2ABD;从而得到AOD∽△CBE,根据相似比得出结果;

3)要证FH是⊙O的切线,只须证出DFFH即可,作出辅助线是本题的关键.

解:(1)证明:圆内接四边形ABCDADBC

∴弧AD=弧BC,∴∠ABD=∠BDC

ABCD

2)由(1)知,∠BCE=∠CBA=∠DAO

∵∠CBE2ABD且∠AOD2ABD

∴△AOD∽△CBE

3)作FMAHM

∵∠ADB=∠AFB=∠DAF90°

∴四边形AFBD是矩形,

FHBDAF

AMHMOMBM

OFBFOD

∴∠FOH60°,∠OHF30°

DFH90°

又∵DF是⊙O的直径,

FH是⊙O的切线.

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