Question

【题目】如图，一次函数y =﹣4x﹣4的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=的图像经过A、C两点，且与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点E,使点E到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点E的坐标；

（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E；（3）或或

【解析】

（1）求出一次函数y =﹣4x﹣4与坐标轴交点A、C的坐标，代入抛物线解析式进行求解即可；

（2）点A，点B关于抛物线对称轴x=1对称，当B、E、C三点共线时，点E到点A的距离与到点C的距离之和最小，令y=0求出点B的坐标，用待定系数法求出BC解析式，BC与对称轴的交点即为E点；

（3）以直角顶点进行分类，分3种情况，设M、N的纵坐标为a，表示出相应线段，再根据等腰直角三角形的性质进行求解即可．

解：（1）∵一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，

∴A （﹣1，0），C （0，﹣4），

把A （﹣1，0），C （0，﹣4）代入得

∴，解得　，

∴；

（2）∵=，

对称轴是直线x=1，

∴A, B关于直线x=1对称

∴直线BC与对称轴直线x=1的交点即为E点

此时点E到点A的距离与到点C的距离之和最小．

把y=0代入，得，

解得：，，

∴B，∵C，

易求直线CB的解析式为，

把x=1代入，得y=，

∴E，

（3）∵DP∥AB

设M、N的纵坐标为a，

AC所在直线的解析式为y=﹣4x﹣4, BC所在直线的解析式为：，

则M ，N，

①当∠PMN=90°，MN=a+4，PM=﹣a，因为是等腰直角三角形，则﹣a=a+4 则a=﹣2 则P的横坐标为，

即P点坐标为；

②当∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=﹣2，则P的横坐标为，

即P点坐标为；

③当∠MPN=90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=﹣a，

又PM=PN，∴PQ⊥MN，则MN=2PQ，即：a+4=﹣2a，

解得：a=，

点P的横坐标为：　，

即P点的坐标为．

综合上述P坐标为或或．