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【题目】如图,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BPCP的延长线分别交AD于点EF,连结BDDPBDCF相交于点H.给出下列结论:

①△ABE≌△DCFPDF=15°,其中正确的结论有(  

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=DCF=30°,再直接利用全等三角形的判定方法得出答案;

利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠CPD=75°,进而得出答案;

先得出,再根据CD=BP得出,进而根据相似三角形的性质即得.

根据三角形面积计算公式,结合图形得到BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积,得出答案.

解:∵BPC是等边三角形,

BP=PC=BC,∠PBC=PCB=BPC=60°

在正方形ABCD中,

AB=BC=CD,∠A=ADC=BCD=90°

∴∠ABE=DCF=30°

ABECDF中,

ABE≌△DCF,故正确;

PC=BC=DC,∠PCD=30°

∴∠CDP=75°

∴∠PDF=ADC-CDP=90°-75°=15°,故正确;

∵∠PCD=30°

DF=,根据勾股定理CD=FC

∵∠DBC=45°,∠BCF=60°

∵∠DBC=45°

∴∠PBD=15°

∴∠FDP=PBD

∵∠DFP=BPC=60°

DFP∽△BPH

,故③正确;

如图,过PPMCDPNBC

设正方形ABCD的边长是4

BPC为正三角形,

∴∠PBC=PCB=60°PB=PC=BC=CD=4

∴∠PCD=30°

SBPD=S四边形PBCD-SBCD=SPBC+SPDC-SBCD

,故正确;

故正确的有4个,

故选:D

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