Question

【题目】如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由见解析.

【解析】分析：（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．

详解：（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵点E为AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD，

∴D是BC的中点；

（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AFBD是矩形．