Question

19．在Rt△ABC中，AB=6，∠B=90°，BC=8，点P从A出发沿AC方向在运动速度为3个单位/秒，点Q从C出发向点B运动，速度为1个单位/秒，P、Q同时出发，点Q到点B时两点同时停止运动．
（1）点P在线段AC上运动，过P作DP⊥PQ交边AB于D，t=2时，求$\frac{PD}{PQ}$的值；
（2）运动t秒后，∠BPQ=90°，求此时t的值；
（3）t=$\frac{100}{23}$时，AQ=QP．

Answer 1

分析 （1）如图1中作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，求出PE、PF，由△PED∽△PFQ得$\frac{PD}{PQ}=\frac{PE}{PF}$，由此即可解决．
（2）如图2中作PE⊥AB于E，由△PEB∽△BPQ，得$\frac{PE}{PB}=\frac{PB}{BQ}$，由此即可解决问题．
（3）如图3中作QF⊥AC于F，根据AQ=QP利用勾股定理列出方程即可．

解答 解；（1）如图1中，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵t=2，
∴AP=6，CQ=2，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PA}{AC}=\frac{PE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{PE}{8}=\frac{AE}{6}$，
∴PE=4.8，AE=3.6，BE=2.4，
∵∠PEB=∠EBF=∠PFB=90°，
∴四边形EBFP是矩形，
∴PF=BE=2.4，
∵∠EPF=∠QPD=90°，
∴∠EPD=∠FPQ，
∴△PED∽△PFQ，
∴$\frac{PD}{PQ}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{4.8}{2.4}$=2．
（2）如图2中，作PE⊥AB于E，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴PE=$\frac{12}{5}t$，AE=$\frac{9}{5}t$，EB=6-$\frac{9}{5}t$，
∵∠EPB=∠PBQ，∠PEB=∠BPQ=90°，
∴△PEB∽△BPQ，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PB}{BQ}$，
∴$\frac{12}{5}t•（8-t）=（\frac{12}{5}t）^{2}+（6-\frac{9}{5}t）^{2}$，
∴t=2或$\frac{30}{19}$．
（3）如图3中作QF⊥AC于F，
∵∠QCF=∠ACB，∠QFC=∠ABC，
∴△QFC∽△ABC，
∴$\frac{QF}{AB}=\frac{QC}{AC}$，
∴QF=$\frac{3}{5}$t，
∵AQ=QP，
∴AF=FP=$\frac{3}{2}t$，
∴6²+（8-t）²=（$\frac{3}{5}$t）²+（$\frac{3}{2}$t）²，
整理得：161t²+1600t-10000=0，
解得t=$\frac{100}{23}$（或-$\frac{100}{7}$舍弃）．
故答案为$\frac{100}{23}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．