Question

【题目】如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．

（1）求证：△BDG∽△DEG；

（2）若EGBG=4，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

试题分析：（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可；

（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案．

（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，

∴△BCE≌△DCF，

∴∠FDC=∠EBC，

∵BE平分∠DBC，

∴∠DBE=∠EBC，

∴∠FDC=∠EBD，

∵∠DGE=∠DGE，

∴△BDG∽△DEG．

（2）解：∵△BCE≌△DCF，

∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，

∵BE平分∠DBC，

∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，

∴∠BEC=67.5°=∠DEG，

∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，

即BG⊥DF，

∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠BDF=∠F，

∴BD=BF，

∴DF=2DG，

∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，

∴=，

∴BG×EG=DG×DG=4，

∴DG2=4，

∴DG=2，

∴BE=DF=2DG=4．