Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD.

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）求证：BD2＝ACBF.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据圆的对称性可得∠ACD＝∠BCD，根据等腰三角形的性质可得CD⊥AB，由EF//AB可得∠CDF＝∠CGB＝90°，即可得答案；（2）先证明△BCD∽△BDF，利用相似三角形的性质可知：，利用BC＝AC即可求证BD2＝ACBF.

（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，

∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，

∴CD⊥AB，

∵AB∥EF，

∴∠CDF＝∠CGB＝90°，

∵OD是圆的半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠CDB+∠C＝90°，

∴∠BDF＝∠CDB，

∴△BCD∽△BDF，

∴，

∴BD2＝BCBD，

∵BC＝AC，

∴BD2＝ACBF.