Question

【题目】某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服套（为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为元．

运动服款式	甲款	乙款
进价（元套）
售价（元套）

（1）求与的函数关系式；

（2）该服装店计划投入万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？

（3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低元（其中），且最多购进套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，请你设计出使该服装店获得最大销售利润的购进方案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）套，元；（3）详情见解析

【解析】

（1）若购进甲款运动服套，则购进乙款运动服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可；

（2）根据题意首先表示出购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲款运动服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可；

（3）根据题意首先列出此时与的函数关系式，其中，据此进一步化简，然后分①当时、②当时、③当时三种情况进一步分析讨论即可.

（1）∵购进甲款运动服套，∴购进乙款运动服套，

根据题意得，，

化简得：，

即与的函数关系式为：；

（2）由题意得：

购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，

∴，

解得：，

∴至少要购进甲款运动服套．

又，其中，

∴随的增大而减小，

∴当时，有最大值，此时最大值为：，

∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是元，

答：至少要购进甲款运动服套，若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是元；

（3）由题意得，，其中，

化简得，，

∵，则：

①当时，，随的增大而减小，

∴当时，有最大值，

则服装店应购进甲款运动服套、乙款运动服套，获利最大；

②当时，，，

则服装店应购进甲款运动服的数量应满足，且为整数时，服装店获利最大；

③当时，，随的增大而增大，

∵，∴当时，有最大利润，

则服装店应购进甲款运动服套、乙款运动服套，获利最大．