Question

【题目】如图，为的直径，于点，是上一点，且，延长至点，连接，使，延长与交于点，连结，．

（1）连结，求证：；

（2）求证：是的切线；

（3）若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据等边对等角可得∠CDB=∠FBD，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠F，最后利用AAS即可证出结论；

（2）连接OC，根据圆周角定理和三角形外角的性质证出∠COB=∠CEB，然后根据等边对等角、直角三角形的性质和等量代换即可求出∠OCP=90°，最后根据切线的判定定理即可证出结论；

（3）连接AC，先证出∠F=∠A=∠BCG，根据等角的正切值相等可得，设CG=2x，则AG=3x，BG=，然后根据题意列出方程即可求出CG、AG、BG、AB，然后根据垂径定理求出DG，最后根据tan∠COB = tan∠CEB，即可求出结论．

解：（1）∵

∴∠CDB=∠FBD

∵

∴∠BCD=∠F

在△BCD和△DFB中

∴

（2）连接OC

∵∠COB=2∠CDB，∠CEB=∠EDB＋∠EBD=2∠EDB

∴∠COB=∠CEB

∵

∴∠PCE=∠CEB

∴∠COB=∠PCE

∵

∴∠OGC=90°

∴∠COB＋∠OCG=90°

∴∠PCE＋∠OCG=90°

∴∠OCP=90°

即OC⊥PC

∴是的切线；

（3）连接AC

∴∠ACB=90°，

∴∠A＋∠ACG=90°，∠BCG＋∠ACG=90°

∴∠A=∠BCG

∵

∴∠F=∠A=∠BCG

∴

设CG=2x，则AG=3x，BG=

∵

∴

∴CG=，AG=，BG=

∴AB=AG＋BG=，DG=CG=

∴OB=AB=

∴OG=OB－BG=

由（2）知∠COB=∠CEB

∴tan∠COB = tan∠CEB

∴

即

解得：GE=

∴ED=DG－GE=