Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的周长．

Answer 1

【答案】（1）直线CD与⊙O相切，理由见解析；（2）2++

【解析】

（1）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接OD，证OD是否与CD垂直即可．

（2）阴影部分的周长可由CD+BC+扇形OBD的弧长求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出平行四边形CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD＝AB，由此可求出CD的长，即可得解．

解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：

如图，连接OD，

∵OA＝OD，∠DAB＝45°，

∴∠ODA＝45°，

∴∠AOD＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，

又∵点D在⊙O上，

∴直线CD与⊙O相切；

（2）∵⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，

∴AB＝2，

∵BC∥AD，CD∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝2，

由（1）知：△AOD是等腰直角三角形，

∵OA＝OD＝1，

∴BC＝AD＝，

∴图中阴影部分的周长＝CD+BC+＝2++．