Question

【题目】（感知）如图①，正方形中，点在边上，平分．若我们分别延长与，交于点，则易证．（不需要证明）

（探究）如图②，在矩形中，点在边的中点，点在边上，平分．求证：．

（应用）在（探究）的条件下，若，，直接写出的长．

Answer 1

【答案】【感知】见解析；【探究】见解析；【应用】

【解析】

感知：如图①，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出结论；

探究：如题②，作辅助线，证明△AED≌△GEC，得到AD=CG=BC，再由感知中得到AF=FG，可得出结论；

应用：设FC=x，则AF=x+6，BF=6-x，由勾股定理列方程可得结论．

感知：

证明：如图①

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

∵AE平分∠DAF，

∴∠DAE=∠FAG，

∴∠FAG=∠G，

∴AF=FG．

探究：

解：如图，分别延长与，交于点．

∵点E是CD边的中点，

∴DE=EC.

矩形，

，

，

又，

(ASA)，

，，

是的平分线，

，

．

即．

应用：

解：如图②，设FC=x，则AF=x+6，BF=6-x，

∵点E是DC的中点，DE=2，

∴DC=4，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2，

（6+x）2=42+（6-x）2

解得：，

∴．