Question

2．已知正比例函数y=kx的图象经过点A（2，4），点B（6，0）为x轴正半轴上的一点．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）点P为正比例函数图象上的一个动点，若△ABP为等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接把A点坐标代入y=kx求出k的值即可；
（2）设P（t，2t），利用两点间的距离公式得到AP²=（t-2）²+（2t-4）²，PB²=（t-6）²+（2t）²，AB²=32，再分类讨论：当AP=PB时，（t-2）²+（2t-4）²=（t-6）²+（2t）²，当AP=AB时，（t-2）²+（2t-4）²=32，当PB=AB时，（t-6）²+（2t）²=32，然后分别解方程求出t的值，从而得到P点坐标．

解答 解：（1）把A（2，4）代入y=kx得2k=4，解得k=2，
所以正比例函数的解析式为y=2x；
（2）设P（t，2t），
AP²=（t-2）²+（2t-4）²，PB²=（t-6）²+（2t）²，AB²=（6-2）²+（0-4）²=32，
当AP=PB时，（t-2）²+（2t-4）²=（t-6）²+（2t）²，解得t=-2，此时P点坐标为（-2，-4）；
当AP=AB时，（t-2）²+（2t-4）²=32，解得t=$\frac{10±4\sqrt{10}}{5}$，此时P点坐标为（$\frac{10+4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{10}}{5}$）或（$\frac{10-4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{10}}{5}$）；
当PB=AB时，（t-6）²+（2t）²=32，解得t₁=$\frac{2}{5}$，t2=2（舍去），此时P点坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（-2，-4）或（$\frac{10+4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{10}}{5}$）或（$\frac{10-4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{10}}{5}$）或（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．也考查了等腰三角形的判定．运用分类讨论的思想是解决本题的关键．