Question

10．已知方程2x²+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它一个根是已知方程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方．

Answer 1

分析 先设方程2x²+4x-3=0的两根分别为a，b，根据根与系数的关系得到a+b=-2，ab=-$\frac{3}{2}$，再计算出$\frac{1}{a+b}$=-$\frac{1}{2}$和（a-b）²=10，根据题意以-$\frac{1}{2}$和10为根的一元二次方程可写为x²-（-$\frac{1}{2}$+10）x+（-$\frac{1}{2}$）×10=0，然后整理即可．

解答 解：设方程2x²+4x-3=0的两根分别为a，b，
则a+b=-2，ab=-$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{1}{a+b}$=-$\frac{1}{2}$，（a-b）²=（a+b）²-4ab=（-2）²-4×（-$\frac{3}{2}$）=10，
∴以-$\frac{1}{2}$和10为根的一元二次方程可写为x²-（-$\frac{1}{2}$+10）x+（-$\frac{1}{2}$）×10=0，
即2x²-19x-10=0．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．